EE6122-P1-Topic3-光源和光检测器

引入

半导体发光

光纤中使用半导体器件作为光源和接收器。不是所有半导体都能做光源，这里有一个最关键的门槛 ——只有直接带隙半导体构成的 PN 结，才能作为光源。它的原因将在后面详细解释。

LED的原理：当一个PN结正向偏置下，电子和空穴会通过辐射（发射光子）和非辐射（发热）的方式重新结合。这就是LED的基本工作原理。这种现象叫做电致发光（Electroluminescence）。这个复合主要发生在PN 结附近—— 因为正向偏置时，电子和空穴都往结区跑，在这里相遇最多；当然，少数载流子会扩散到结的两边，所以复合也可能发生在更宽的区域，但核心还是结区。

激光：激光是在 LED 的基础上，加了一个谐振腔（coherent）。这个谐振腔会把产生的光子来回反射，刺激更多的电子空穴发生 “受激辐射”。受激辐射出来的光子和入射光子完全一样，同频、同相、同方向。这样一来，光就会被不断放大，最后输出的是相干、方向性极强、光谱极窄的激光。

光通信中的半导体材料

半导体材料分几大类：

1. IV 族：比如硅（Si）、锗（Ge），我们最熟悉的半导体材料；
2. III-V 族：比如砷化镓（GaAs）、铟镓砷磷（InGaAsP），这是光纤通信光源的核心；
3. 还有 II-VI 族和其他特殊材料，我们暂时不用细究。

短波长窗口（~0.8μm，也就是 850nm）：光源用 GaAlAs/GaAs（III-V 族，直接带隙），探测器可以用 Si（IV 族）；

长波长窗口（1~1.7μm，也就是 1310nm 和 1550nm 这两个低损耗窗口）：光源和探测器都用 InGaAsP/InP（III-V 族，直接带隙）。

前置知识

电子吸收和释放能量：

• 纵坐标 E 代表能量 。
• 横坐标 k（波矢）代表电子的动量（你可以理解为电子运动的方向和速度） 。

上图左边表示当光子照射进来时，电子吸收能量，发生跃迁；右侧表示电子释放能量，产生动量（光子）。

电子可以待在两个能量层级：

• 导带（Conduction Band）：电子待的高能量层。这里的电子是自由的，能导电 。
• 价带（Valence Band）：电子待的低能量层。这里相对稳定 。

声子和光子：

• Phonon（声子）：晶格振动的能量量子，可以简单理解为“热/机械振动”。它的能量很小，但动量（Momentum）很大。任何涉及声子的变换都会改变波矢 $k$（electron
  wave vector）
• Photon（光子）：电磁辐射的能量量子，也就是“光”。它的能量很大，但动量非常小。

根据导带和价带的特性，半导体可以分为：

直接带隙半导体（Direct-bandgap）：导带的最低点和价带的最高点在同一个 $k$ 值上（对齐了） 。电子可以直接垂直掉下来和空穴复合，释放光子（Photon） 。

间接带隙半导体（Indirect-bandgap）：导带最低点和价带最高点的 $k$ 值不对齐 。电子想和空穴复合，不仅要丢掉能量，还得改变动量 。改变动量就需要声子（Phonon），声子是晶格振动产生的，能量小但动量大 。电子必须同时找个声子帮忙才能完成转换 。这种电子+空穴+声子三方合作来发光的概率很低 。

直接带隙 vs 非直接带隙：发光

从上面的介绍中不难看出，间接带隙的电子+空穴+声子三粒子复合远比直接带隙的电子+空穴二粒子复合难发生。因此，间接带隙半导体的复合速度很慢（$10^{-2}$ 到 $10^{-4}$ 秒），而直接带隙很快（$10^{-8}$ 到 $10^{-10}$ 秒）。

在间接带隙半导体中，由于复合得慢，过剩的少数载流子在消失前能存在更长时间。

少数载流子：半导体里有两种可以移动并导电的“车”：电子（带负电）和空穴（带正电）。通过掺杂，我们会让其中一种的数量远多于另一种。

因为非直接带隙发光太慢，电子往往等不及发光，就通过晶格缺陷或杂质把能量转变成了热量，这被称为非辐射复合 。

直接带隙 vs 非直接带隙：吸光

虽然发光很难，但间接带隙半导体吸收光子却相对容易，因为它采用了一个“分步走”的策略：

第一步：垂直跃迁：电子吸收一个光子，直接垂直跳到一个能量很高的导带位置 。此时动量（$k$ 值）保持不变（因为光子动量极小） 。

第二步：热化（Thermalization）：电子跳上去后，通过与晶格碰撞产生声子（Phonon），释放掉多余的动量和能量 。电子最终落回到导带的最底端 。空穴也会进行类似的操作，上浮到价带的最顶端 。

为什么这个过程更容易？因为它不需要三个粒子同时出现，而是先后发生的序列过程，所以发生的概率并不低 。
一个例子就是硅虽然发光效率低，但它是一个不错的光吸收器 。它能吸收波长短于 $1.1 \mu\text{m}$ 的光（即能量大于其带隙 $1.12 \text{eV}$ 的光子） 。

半导体的掺杂（Doping）

通过在纯净晶体中加入少量的杂质原子，可以控制材料的导电性 。

n 型掺杂（Negative）：加入比主机材料多一个价电子的原子（如用 5 价的磷取代 4 价的硅） 。多出来的电子不参与化学键，只需要一点点热能就能自由移动，增加导电性 。

p 型掺杂（Positive）：加入比主材料少一个价电子的原子（如用 3 价的硼取代 4 价的硅） 。这会产生“空穴”，也就是可以移动的正电荷中心 。

电中性：无论怎么掺杂，材料整体依然保持电中性，因为质子和电子的总数是对等的 。

当 PN 结加正向偏压时，外加电场会削弱 PN 结的内建电场，让n 区的电子和p 区的空穴分别向对方区域 “注入”—— 电子跑到 p 区，空穴跑到 n 区，这些进入对方区域的载流子，就成了少数载流子。

纯净晶体的能带图 (Pure-crystal Energy-band)

下图是纯净半导体的能带图。

• 导带 ($E_C$)是高能区，电子在这里才能自由跑动导电 。
• 价带 ($E_V$)是低能区，电子通常待在这里 。
• 禁带宽度 ($E_g$)中间的空白地带，电子不能停留在这一区 。

在纯净状态下，电子和空穴的数量是对等的（跳上去一个电子，下面就留一个坑）

n 型材料的能级 (n-type material)

下图是n型掺杂半导体的能带图，其加入了比主机材料多一个价电子的原子（磷原子）

施主能级 ($E_D$)：掺杂磷原子后，在靠近导带底的地方出现了一个新的“阶梯” ，位于$E_D$的磷原子很容易把电子“送”给导带 。这就导致了导带里的自由电子浓度远高于空穴 。因为主要是带负电 (negative) 的电子在导电，所以叫 n 型 。

p 型材料的能级 (p-type material)

当进行P型参杂，加入比主材料少一个价电子的硼原子时：

受主能级 ($E_A$)：掺杂硼原子后，在靠近价带顶的地方出现了一个“收纳位” 。价带里的电子很容易跳到这个位置，从而在下面留下大量空穴 。电流主要靠带正电 (positive) 的空穴流动来传导，所以叫 p 型 。

多数与少数载流子 (Majority/Minority Carriers)

• 多子 (Majority)：占绝大多数的电荷载体。n 型里是电子，p 型里是空穴 。
• 少子 (Minority)：占极少数的电荷载体。n 型里是空穴，p 型里是电子 。

PN结

正向偏置 (Forward Bias)：电池的正极接 p 端，负极接 n 端 。电池会把电子和空穴往交界处推，使得那道“势垒墙”变薄 。一旦推力足够大，电荷就能冲过交界处产生大电流，此时 LED 就会发光 。

反向偏置 (Reverse Bias)：电池正极接 n 端，负极接 p 端 。电池把电荷从交界处往回拉，使得中间的空白区（耗尽层）变得更宽 。此时主电流被切断，只有极微弱的“少子”在流动 。这就是二极管只能单向导电的原因。

光源

在光纤通信中，我们主要使用两种光源：LED（发光二极管）*和激光二极管（Laser Diode） 。它们都使用 PN 结 ，并且都需要在正向偏置（通电）下工作，将电能转化为光能 。

LED 的特点：通过“自发辐射”发光 。它成本低、带宽低、贷款低、寿命长、工作温度域宽，但发出的光比较“散”（光束发散角大） 。

激光器的特点：输出功率高，发出的光非常集中且一致（Coherent and narrow beam），能更高效地射入细小的光纤中 。

电是怎么变成光的

PN结发光的过程

下图是PN 结正向偏置时的能量 - 位置能带图。纵轴是能量（energy），从下到上能量升高（上面的线是导带，下面是价带，$E_g$是带隙）；横轴是位置（position），从左到右对应 PN 结的 p 区 → 耗尽区 → n 区；

在 PN 结的中间区域，导带和价带都发生了一个弯曲，形成了一个像山坡一样的落差 ，这个落差被称为“势垒”。$V_0$ 是在不通电时，这个山坡的原始垂直总高度（能量表达为 $eV_0$）。它是电子从 n 区跑向 p 区必须翻越的障碍。

当施加正向电压 $V$ 后，这个落差的高度降低到了 $e(V_0 - V)$（提供了$eV$的能量）。由于墙变矮了，n 区的大量电子 ($e^-$) 就能更容易地越过边界扩散到 p 区；同理，p 区的空穴 ($h^+$) 也会扩散到 n 区。

原本电子在 p 区是极少数的，但现在大量电子从 n 区跑了过来，形成了“电子过剩”，同时空穴在 n 区也形成了“过剩”。被注入到对方区域的“少数载流子”会遇到那里的“多数载流子”（上图蓝色电子和白色空穴）。电子掉进空穴里，释放出的能量大约等于禁带宽度（bandgap energy） $E_g$。如果这是直接带隙材料（如 GaAs），这部分能量就会变成光子射出。

准费米能级 (Quasi-Fermi levels)：在形成过剩现象时，系统不再处于热平衡状态，而是由两个独立的准费米能级 $E_{Fc}$（电子）和 $E_{Fv}$（空穴）来描述。这两者之间的能量差正好等于施加的电压：$E_{Fc} - E_{Fv} = eV$。

半导体Bandgap Energy与波段

如果已知半导体的禁带宽度$E_g$（单位$eV$），那么光的波段可以用下述公式计算：

$$\lambda=\frac{hc}{E_g(J)}=\frac{6.626\times10^{-34}(3\times 10^8)}{E_g(eV)\times1.6\times10^{-19}}=\frac{1.24}{E_g}$$

下表是常见半导体的$E_g$和对应波长

Material	λ (μm)	Eg (eV)
GaAs	0.9	1.4
AlGaAs	0.8 - 0.9	1.4 - 1.55
InGaAs	1.0 - 1.3	0.95 - 1.24
InGaAsP	0.9 - 1.7	0.73 - 1.35
GaInP	0.64 - 0.68	1.82 - 1.94

PN结的伏安特性曲线

如果二极管的反向偏执电流是$I_0$

第一象限：正向偏置。这是 LED 发光的工作区域 。此时二极管上电压$V$、电流$I$与反向偏执电流$I_0$可以用下述经验公式推导（其中$e$是单个电子的能量（库伦））：

$$I\approx I_0e^{(\frac{eV}{kT})}$$

光电导模式 (Photo-conductive) 。这是光电探测器工作的区域，处于反向电压下 。此时总电流 $I_s \cong I_0 + I_L$，即总电流等于暗电流 $I_0$ 加上光生电流 $I_L$ 。

第四象限：正向电压 + 反向电流，这是太阳能电池的工作模式，不加外电源，光照后自主产生电压和电流。但这个模式响应速度极慢，带宽极低，完全不适合高速光纤通信，我们只需要了解即可。

内外部量子效率（Internal / External quantum efficiency）

并不是所有的电都能变成射出来的光：

内部量子效率 ($\eta_{int}$)：指在材料内部，有多少电荷成功复合变成了光子 。如果材料里缺陷多，电子能量就会变成热量流失 。复合机制取决于辐射复合寿命（$\tau_{rr}$）和非辐射复合寿命（$\tau_{nr}$）。内部量子效率公式如下：

$$\eta_{int }=\frac{N_{p h}}{N_{c}}=\frac{\tau_{n r}}{\tau_{n r}+\tau_{r r}}$$

外部量子效率 ($\eta_{ext}$)：这是最终能从器件里射出来的光子比例 。因为光在射出半导体表面时，会遇到全反射、菲涅尔反射损失或被材料自己吸收 。所以，$\eta_{ext}$ 总是小于 $\eta_{int}$ 。

$$\eta_{ext}=\frac{\text{最终辐射的光子数}}{穿过结的载流子数量}$$

LED

两类发光LED

LED分别两类：

• 面发光 (Surface-emitting)：发光面与 PN 结平行，光束发散角大，耦合效率较低，结构简单、成本低
• 边发射 (Edge-emitting)：发光面沿 PN 结边缘，光束发散角更小，光谱更窄，与光纤耦合效率更高，适合短距离高速通信

LED的光谱宽度

LED 是自发辐射发光，无谐振腔选频，因此光谱宽度远宽于激光二极管（LD），这也是 LED 适合低速短距离通信的重要原因。

对于峰值波长为$\lambda(\mu m)$的LED，其相对光谱宽度满足：

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_{p}} \approx 1.6 kT(e V) × \lambda(\mu m)$$

其中，光谱宽度为$\Delta \lambda(nm)$；$\lambda_p(\mu m)$是峰值波长；$1.6kT$中的$k$ 是玻尔兹曼常数（$1.380649\times 10^{-23}J/K$），$T$ 是绝对温度。$kT$ 代表了由于温度引起的随机热运动能量。(在室温（$300K$）下，$kT$ 大约等于 $0.0259 eV$)

也就是说，温度越高，$kT$ 越大，电子在能带里的分布就越乱，发出的光波长范围也就越宽。 这就是为什么 LED 在高温下颜色会变得“没那么纯”。

举个例子，如果你有一个 $\lambda = 1.3 \mu m$ 的 LED，在室温（$300K$）下：

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx 1.6 \times 0.0259 \times 1.3 \approx 0.054$$

那么 $\Delta \lambda \approx 1.3 \times 0.054 \approx 0.07 \mu m = 70 nm$。 这说明这个 LED 发出的光波长范围大约涵盖了 $70$ 纳米的宽度。

LED输出光功率与输入电流的关系

LED的电流与发光功率如下图所示。实线部分（线性区）是LED的正常工作区间，注入的电流和输出的光功率成正比。

线性区的斜率就是 LED 的响应度（Responsivity），公式为：

$$R=\eta_{ext}\frac{1.24}{\lambda_0(\mu m)}\quad \text{(对应电流为mA)}$$

其中：

• R：单位是 mW/mA（或 W/A），代表每 1mA 电流能产生多少 mW 光功率，数值越大，电光转换效率越高。
• $\eta_{ext}$：外量子效率，衡量 “注入的电子→出射的光子” 的整体效率。
• $\frac{1.24}{\lambda_0}$：由光子能量公式 $E=hν=\frac{1.24}{\lambda_0}$ 得来，${\lambda_0}$ 是峰值波长（单位：$\mu m$）。

当电流增大到一定程度后，曲线偏离线性，出现饱和，称为电流下垂效应（Current Droop）

激光器（Laser）

引入-光和物质的3中互动

• 吸收 (Absorption)：电子吃掉光子，跳到高能级 。
• 自发辐射 (Spontaneous Emission)：电子随机跳下来发光，相位乱七八糟。这是 LED 的工作原理 。
• 受激辐射 (Stimulated Emission)：这是激光的核心。当一个电子在高处时，如果有一个外来的光子经过，它会“诱导”这个小球立刻掉下来 。电子掉下来产生的新光子和那个外来光子的步调完全一致（同相位、同频率） 。这就像是一个领唱带起了一群合唱，声音整齐划一。

激光的产生原理

一个激光的发射器的模型如下图所示，左边的是全反射镜，右边的是部分反射镜。中间的gain medium负责放大，光波射出又经反射镜反射回gain medium中，产生受激辐射 (Stimulated Emission)，光强随之不断增强；但这种光强的增长并不会无限持续，因为放大器会出现饱和效应。

对于激光器而言，增益介质通过受激辐射实现光放大。增益介质（gain medium）同时决定了激光的频率，这是通过介质自身的特征能级以及能级间的跃迁来实现的。

反射镜提供光学反馈：光子在反射镜间来回反射，再次穿过增益介质以获得进一步放大。由此形成的驻波会促进谐振腔共振频率的光场增强，最终形成激光振荡。

右侧的部分透射镜允许一部分产生的光耦合输出，最终形成相干激光辐射。

理想的激光源是：

• 完全单色：只在一个波段$\Delta\lambda=0$
• 完全准直（collimated）：所有的光波都平行$\Delta \theta=0$
• 完全相干（coherent）：所有光波都具有同样的相位$\Delta \Phi=0$

粒子数反转（Population inversion）

1.什么是粒子数反转

在自然界中，万物都趋向于处于低能量状态。想象一个两层的电影院。通常情况下，一楼（低能级 $E_1$）坐满了人，而二楼（高能级 $E_2$）只有零星几个人。这是最稳定的状态，物理学上叫“玻尔兹曼分布”。

反转状态： 所谓“粒子数反转”，就是通过某种手段，让二楼（高能级）的人比一楼（低能级）的人还要多。

2.为什么要反转？

对于受激辐射，只有高能级上的电子足够多，当一个光子经过时，才能引发“连锁反应”，像推倒多米诺骨牌一样产生大量相同性质的光子。如果一楼人多，光子一进去就被吸收了，根本产生不了激光。

3. 如何反转

既然自然界不答应这种“头重脚轻”的状态，我们就需要手动“抽”上去。这被称为Energy Pumping。

我们通过外部能量（比如高压电、强光照射或者大电流注入），像水泵抽水一样，把待在一楼（低能级）的电子强行“抽”到高能级去。但要产生受激辐射，还需要亚稳态的帮助。如下图

电子被抽运到顶楼（Level B）后，它们非常不安分，会极其快速地掉下来。电子掉到 Level C 后，会在这里“休息”较长时间（例如图上标的是 10ns，这在原子尺度上已经算很长了）。 因为电子在这里停留的时间长，后面被抽上来的电子不断补充进来，Level C 的人就会迅速堆积，从而实现了 Level C 的人数远远多于 Level A。

受激辐射爆发：当 Level C积攒了足够多的电子后，其中一个电子因为偶然原因掉回 Level A，释放出一个光子（自发辐射）。这个光子就像一个信号，它经过其他正在 Level C 等待的电子时，会诱导它们集体、同时掉回 Level A。

激光器产生的激光频率

激光要产生，需要 光放大（来自增益介质）和 正反馈（让光在腔体中来回反射）。这种反馈通常通过 光学谐振腔 来实现。

法布里-珀罗激光器（Fabry-Perot） 激光器就是最常见的一种：它用 两面镜子（一面几乎全反射，另一面部分透射）形成腔体，让光在里面来回反射并增强。如下图

上图中，两面镜子的距离（腔体长度） L 必须满足 驻波条件：

$$L=\frac{q}{n}\frac{\lambda}{2}\quad or\quad f=\frac{qc}{2nL}$$

其中：其中 q 是整数，n 是介质折射率。腔体长度和折射率决定了激光器能发出哪些模式（波长）

F-P 激光器的输出不是单一波长，而是多个离散模式。模式间隔由腔长决定，输出光谱呈 高斯分布，中心波长附近最强。

若激光腔体长度为$L$，折射率为$n$，中心波长为$\lambda$，则其模式间隔（上图波峰间隔）满足：

$$\Delta \lambda=\frac{\lambda^2}{2nL}$$

激光阈值条件

激光要“点亮”，必须满足 增益（optical gain） = 腔内损耗（total loss in cavity）。

每次光在腔体中往返，会经历：

• 吸收和散射造成的损耗：$e^{-2\alpha L}$，其中$\alpha$是衰减参数
• 受激辐射提供的增益：$e^{2gL}$，其中$g$是增益参数

由于镜面反射会衰减一部分光，使用$r_1$和$r_2$分别作为两个镜面反射的衰减系数。那么，激光稳定的条件就是：

$$r_1r_2e^{-2\alpha L}e^{2gL}=1$$

解出来增益阈值就是：

$$g_{th}=\alpha+\frac{1}{2L}\ln\left[\frac{1}{r_1r_2}\right]$$

注意：L的单位要和$\alpha$的单位已知

激光器的效率与光通量

激光器的工作依赖于电子-空穴复合：

• 辐射复合：产生光子（有用）。
• 非辐射复合：产生声子（浪费）。

在下面这一段中，$N_{ph}$是光子产生速率，$N_c$是载流子注入速率，$E_{ph}$单个光子的能量

其发光效率为：

$$\eta_{int}=\frac{N_{ph}}{N_c}=\frac{\tau_{nr}}{\tau_{nr}+\tau_{rr}}$$

• $\tau _{rr}$ 是辐射复合寿命（平均一个载流子通过 辐射复合（发光）过程所需的时间。）
• $\tau_{nr}$是非辐射复合寿命（平均一个载流子通过 非辐射复合（发声子、热耗散）过程所需的时间。）

光通量$\Phi$表示单位时间内输出的光能量，激光器的光通量是（下述公式LED也适用）：

$$\Phi=N_{ph}E_{ph}$$

由于内部量子效率的定义是：$\eta_{int}=\frac{N_{ph}}{N_c}$，而载流子注入效率$N_c=\frac{I}{e}$（其中e是电子电荷），所以光通量可以写成：

$$\Phi=N_{ph}E_{ph}=\eta_{int}N_cE_{ph}=\eta_{int}\frac{I}{e}E_{ph}$$ $$\Phi=\eta_{int}\frac{I}{e}\frac{hc}{\lambda}$$

激光输出功率与电流的关系

• 在阈值电流以下：像 LED，一点点光，且是 非相干。
• 超过阈值电流：光功率急剧上升，进入 相干激光发射。

阈值电流通常在 几十毫安，通过双异质结构设计可以降低。

单模激光器

为了获得单频输出，可以通过缩短谐振腔的长度，使得相邻纵模之间的频率间隔大于增益介质的谱宽。

在现实中实现单频运转的更佳方式是使用分布式反射器（布拉格光栅），替代法布里–珀罗结构中作为集中镜面的晶体劈裂端面。当采用分布式反馈时，晶体表面会镀上抗反射膜（AR coating），以减少端面反射。

布拉格光栅作为频率选择性反射器，可以放置在结平面内（分布式反馈激光器，Distributed Bragg Reflector lasers DFB），也可以放置在有源区外（分布式布拉格反射器激光器，Distributed Bragg Reflector lasers DBR，或垂直腔面发射激光器，Vertical Cavity Surface Emitting Lasers VCSEL）。

下面以DFB作为例子讲解：

在传统 Fabry–Perot 激光器中，端面反射决定谐振条件，容易出现多纵模。DFB 激光器通过在有源区引入布拉格光栅，使反馈分布在整个腔体，而不是集中在端面。如下图

• p-contact / n-contact：电极，用来注入电流。
• p-InP / n-InP：包层材料，提供光学和电学约束。
• InGaAsP active region（红色区域）：有源区，光子在这里通过受激辐射产生。
• Bragg grating（布拉格光栅）：刻在有源区或其附近，提供分布式反馈。
• AR coating：抗反射膜，镀在端面，避免端面反射干扰。

DFB的工作频率由布拉格条件（Bragg condition）决定：

$$Λ=m\cdot\frac{\lambda_0}{2n_{eff}}$$

• $Λ$：光栅周期。
• $\lambda_0$：自由空间波长。
• $n_{eff}$：有效折射率，取决于有源层和包层的折射率。
• $\frac{\lambda_0}{n_{eff}}$是二极管作为波导时测得的波长
• $m$：布拉格衍射的阶数，通常取 m=1。

下图是LED，FP激光器，DFB激光器输出的频谱图对比

例题：光源部分

1.一个工作在室温下的砷化镓 (GaAs) 发光二极管 (LED)，其总量子效率 η = 0.2，反向饱和电流为 1 pA。对于 50 mA 的二极管正向电流，求该 LED 的波长、光谱宽度、光功率和功率转换效率。如果以该 LED 作为光源，计算长度为 50 km、材料色散系数为 30 ps/(km·nm) 的光纤的材料色散。如果工作温度降至 77 K，色散会按什么系数减小？（GaAs 的带隙能量 Eg = 1.43 eV）。相对光谱宽度 = 1.6 kT (eV) × λ(μm)。

已知$E_g = 1.43 eV$，根据半导体波段与带隙能量的关系：

$$\lambda = \frac{hc}{E_g}=\frac{1.24\mu m\cdot eV}{1.43eV}\approx0.867\mu m$$

根据题目给出的LED光谱宽度与温度的经验公式：

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = 1.6 \cdot kT(eV) \cdot \lambda(\mu m)$$ $$\Delta\lambda = \frac{1.6\times1.380649\times10^{-23}\times300}{1.6\times10^{-19}} \times 867 \, \text{nm} \approx 31.1 \, \text{nm}$$

LED的响应度为$R=\eta_{ext}\frac{1.24}{\lambda_0}$

$$Power=IR=50\times0.2\times\frac{1.24}{0.867}=14.30mW$$

或，还有另一种计算方式：

$$Power=\eta_{int}\frac{I}{e}\frac{hc}{\lambda}$$ $$=0.2\times\frac{50\times10^{-3}}{1.60218\times10^{-19}}\times\frac{6.62607015\times10^{-34}\times3\times10^{8}}{867\times10^{-9}}=14.31mW$$

功率转换效率：

$$Power ConvEff=\frac{optical\ power}{Electrical\ Power}$$

根据二极管，$I\approx I_0e^{\frac{eV}{kT}}$：

$$V=\frac{kT}{e}\times\ln[\frac{I}{I_0}]=0.02585\times\ln\frac{0.05}{1\times10^{-12}}=0.637V$$ $$P_{elec} = V \cdot I_f = 0.637 \, \text{V} \times 50 \, \text{mA} \approx 31.85 \, \text{mW}$$

功率转换效率 $\eta_{pc}$ 为：

$$\eta_{pc} = \frac{P_{opt}}{P_{elec}} = \frac{14.3}{31.85} \approx 44.9\%$$

材料色散：

$$\tau_{mat}=50\times30\times31.1=46.65ns$$

2.一只 GaAlAs 激光二极管具有500 µm的腔长，有效吸收系数为 10/cm。假设 GaAlAs 的折射率为3.6。

（a）估算未镀膜端面的反射率。

端面反射率由菲涅尔公式给出：

$$R=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^2=(\frac{2.6}{4.6})^2\approx0.32$$

(b)求激光阈值时的光学增益。

$$g_{th}=\alpha+\frac{1}{2L}\ln\left[\frac{1}{r_1r_2}\right]$$ $$=10+\frac{1}{2\times 0.05(cm) }\ln\left[\frac{1}{0.32\times0.32}\right]=32.789$$

(c)如果其中一端镀上介质反射层，使其反射率变为 90%，那么激光阈值时的光学增益是多少？

$$g_{th}=10+\frac{1}{2\times 0.05(cm) }\ln\left[\frac{1}{0.32\times0.9}\right]=22.448$$

光检测器

引入

光电探测器最基础的功能，就是将光信号转换成电信号输出 。它的本质是一个处于反向偏置状态的 p-n 结 。

常用的探测器分为 P-i-n 光电二极管和雪崩光电二极管 (APD) 。根据不同的通信波长，我们在硬件选型时会使用不同的半导体材料，例如：

• 硅（Si）：对应 800nm 波段，多用于短距离多模光纤通信；
• 铟镓砷磷（InGaAsP）：对应 1300nm 波段（光纤零色散窗口），多用于中距离通信；
• 铟镓砷（InGaAs）：对应 1550nm 波段（光纤最低损耗窗口），是当前长距离、高速率光纤通信的绝对主力。

在进行检测器硬件工程设计时，我们希望其具备：

• 在目标波长下要有高灵敏度（响应度），同时在其他波长下要有低响应度（相当于自带一个天然的光学滤波器）
• 低噪声和合理的成本 。
• 极快的响应时间（高带宽），这决定了通信网络能跑多高的速率 。
• 对温度变化不敏感，物理尺寸兼容，以及较长的使用寿命 。

因为上述的要求，在光纤系统中，我们通常只使用光电二极管 (Photodiodes) 作为光电探测器。下面将介绍两种光电二极管：一种是 p-i-n 光电二极管（没有内部增益） ；另一种是 APD 雪崩光电二极管（通过自倍增效应产生内部增益 $M$）

光电二极管在正常工作时都是反向偏置的 ，原因会在下面详细解释。

p-n 结光电转换原理

光电二极管

光电探测器就是一个和 LED、激光二极管结构类似的 p-n 结半导体器件，唯一的区别是：LED / 激光二极管工作在正向偏置，实现电→光转换；光电二极管工作在反向偏置，实现光→电转换，二者是完全互逆的过程。

当入射光子的能量大于半导体的带隙能量 Eg 时，会把价带的电子激发到导带，产生一个自由电子 + 一个自由空穴，也就是电子空穴对（光生载流子）。

反向偏置下，p-n 结的耗尽区会被拉宽，内部形成强电场，光生的电子会被电场推向 n 区，空穴被推向 p 区，定向流动的载流子就形成了光生电流，完成光到电的转换。

光采样电路

下图是一个p-i-n光电二极管的采样电路，以它为例子，来分析光电转换电路：

1. 入射光子照射到 pin 管的感光区，空穴去P区，电子去N区，触发产生光电流$I_p$；并且这个光电流与入射光功率成正比 。
2. 光电流$I_p$流过外部电路，流过负载电阻 RL；
3. 根据欧姆定律，RL 两端会产生和电流成正比的电压降，这个电压就是我们最终输出的电信号。

光二极管的响应速度

当光射入二极管时，有两个核心的载流子运动方式：

• 漂移运动：载流子在电场作用下的定向运动，速度极快，是决定响应速度的核心因素；
• 扩散运动：载流子因浓度差产生的随机运动，是拖慢响应速度的主要元凶。

漂移时间$t_d$决定了光电二极管的响应速度：

$$t_d=\frac{w}{v_d}$$

• $t_d$ ：漂移时间（transit time）
• $w$ ：耗尽层宽度
• $v_d$：载流子漂移速度

高速硅光电二极管，典型漂移时间约为 0.1 ns。

然而，光子必须在耗尽区被吸收，因为只有在耗尽区，电场才能立即分离电子-空穴对，避免复合损失。因此在设计时，耗尽层被设计得尽可能宽。

通过降低 n 区的掺杂浓度，可以扩大耗尽层，普通 p-n 光电二极管的耗尽层宽度约为 1–3 $\mu m$

光电二极管的参数

先明确所有通用参数：

• $q$：电子电荷量，固定值$1.6×10^{-19} C$
• $h$：普朗克常数，固定值$6.626×10^-34 J\cdot s$
• $c$：真空中的光速，固定值$3×10^8 m/s$
• $ν$：光的频率，$ν=c/\lambda$
• $hv$：单个光子的能量
• $Po$：入射到探测器表面的光功率
• $i_{ph}$：探测器产生的光电流
• $R_p$：探测器表面的反射率
• $\alpha$：材料的吸收系数
• $W$：耗尽区宽度

光电流：

$$i_{ph}=q\left[\frac{P_o}{h\nu}\right](1-R_p)[1-e^{-\alpha W}]=RP_O$$

其中，$\frac{P_o}{h\nu}$是入射光子通量，$(1-R_p)$是进入反射器的光百分比，$1-e^{-\alpha W}$是在厚度为W的探测区内、吸收系数为$\alpha$时的被吸收比例。

内部量子效率：

$$\eta_{i}=\frac{\text{ Number of collected electrons }}{ \text{Number of Photons " Entering" detector} }=\left[1-e^{-\alpha W}\right]$$

外部量子效率：

$$\eta_{e}=\frac{\text{Number of collected electrons}}{\text{Number of Photons "Incident" on detector} }=\frac{i_{p h} / q}{P_{O} / h \nu} =\left(1-R_{p}\right)\left[1-e^{-\alpha W}\right]$$

响应度（Resonsivity）：

$$R=\frac{ \text{Photo Current ( Amps )}}{ \text{Incident Optical Power ( Watts )}}=\frac{i_{p h}}{P_{O}} =\frac{q}{h \nu}\left(1-R_{p}\right)\left[1-e^{-\alpha W}\right]=\frac{\eta_{e} q}{h \nu}$$

P-i-n光电二极管

PIN管结构

pin 光电二极管，是由本征区（Intrinsic）（i 区） 夹在重掺杂的 p + 区和重掺杂的 n + 区之间构成的。i区实际上是轻掺杂、高电阻率的区域。耗尽层的宽度几乎由i区定义

为什么要加 i 区？普通 p-n 结的耗尽区只有 $1-3\mu m$，且随反向电压变化，很难控制。而本征区是高阻材料，加反向偏置后，整个 i 区都会变成耗尽区，耗尽区的宽度几乎等于 i 区的厚度，我们想做多宽，就把 i 区做多厚，完全可控，且几乎不随反向电压变化，性能极其稳定。

i 区不需要是绝对的本征半导体（无参杂半导体），只需要是高阻的轻掺杂 p 型 /n 型半导体即可，因为绝对的本征半导体很难制备，轻掺杂高阻材料的效果完全一致

pin 管的核心优势

1. 提升量子效率：加宽耗尽区，增大了可以捕获光的面积。
2. 降低结电容，提升带宽：p-n 结的结电容和耗尽区宽度成反比，耗尽区越宽，结电容越小。RC 时间常数$\tau=RC$，电容越小，时间常数越小，电路的高频响应越好，带宽越高。
3. 减少慢扩散的影响：由于 i 区电阻极大，电场强度很高，光生载流子一出现就会被电场以“漂移速度”（Drift velocity）瞬间拉向两端，这比靠“扩散”快得多。

Avalanche photodiode（APD）雪崩光电二极管

了解了无增益的 pin 管，我们开始看第二种核心器件 ——APD 雪崩光电二极管。APD 和 pin 管结构类似，但核心目标是获得更高的光电流，从而实现更高的接收灵敏度。APD 有内部电流增益，能把 pin 管里微弱的光生电流，在器件内部放大几十甚至上百倍，让微弱信号不会被后续电路的噪声淹没，从而提升灵敏度。

APD的特点是：

• 高工作电压
• 高内部增益
• 大带宽
• 温度敏感
• 高成本

雪崩效应和APD的增益

在高反向偏置电压下，耗尽区形成极强的电场，光生载流子会被电场加速，获得极高的能量；高能载流子和半导体晶格碰撞，把价带的电子激发到导带，产生新的电子空穴对，这个过程叫碰撞电离；新产生的载流子又会被电场加速，再次碰撞产生更多载流子，形成连锁反应，就像雪崩一样，最终一个初始光生电子，能产生成百上千个电子，实现电流的内部放大。

因此，APD 的增益主要由两个因素决定：

1. 反向偏置电压：电压越高，电场越强，碰撞电离越剧烈，增益越高；
2. 温度：温度越高，晶格振动越剧烈，载流子和晶格碰撞的概率越高，能获得的能量越低，碰撞电离概率下降，增益降低，这就是 APD 温度敏感的原因。

APD的结构和响应度

APD 是在 pin 结构的基础上，额外增加了一个雪崩区（倍增区），最常用的是拉通型 APD，结构为 n-p-i-p+。

1. 入射光先进入 i 区（吸收区），被吸收产生初始的电子空穴对，形成初始光电流 Ip，这个过程和 pin 管完全一致；
2. 初始载流子进入雪崩区，雪崩区有极强的电场，载流子在这里发生碰撞电离，雪崩倍增，产生大量载流子；
3. 最终输出倍增后的电流 $I_m$，实现电流放大。

APD的响应度

所有光电探测器（pin 管、APD）的响应度，本质定义都是：

$$\text{响应度}=\frac{\text{器件输出的光电流}}{\text{入射的光功率}}$$

APD的响应度是：

$$R_{A P D}=\frac{e \eta}{h \nu} \frac{I_{m}}{I_{p}}$$

其中：

• $e$（也常用q表示）：单个电子的电荷量
• $\eta$：APD 的外量子效率
• $I_m$：倍增后输出电流
• $I_p$：未倍增初始光电流
• $\nu$：光波的频率

这个公式的推导是这样的：

对于无增益的PIN管

• 单位时间内，器件收集到的电子数是$\frac{I_p}{e}$（电流 = 单位时间的电荷量，除以单个电子的电量，就是单位时间的电子个数）
• 单位时间内，入射到器件的光子数是$\frac{P_O}{h\nu}$（光功率 = 单位时间的入射总能量，除以单个光子的能量hv，就是单位时间的光子个数）
• 量子效率$\eta$= 收集的电子数 /入射的光子数，代入上面两个式子：$\eta=\frac{I_p/e}{P_O/h\nu}$

而$I_p/P_O$（输出光电流/入射光功率）就是PIN管的响应度，记其为$R_0$，把它移到左边：

$$R_0=\frac{I_p}{P_o}=\frac{e\eta}{h\nu}$$

这部分就是无增益时的响应度，也是前面PIN管的响应度的来源。

APD 和 pin 管的核心区别，是多了雪崩倍增区，初始光电流$I_p$会被放大M倍，最终输出电流为：$I_m=M\cdot I_p$。因此，APD的响应度后面要跟一个$M=\frac{I_m}{I_p}$倍的放大。M是放大系数。

我们还可以进一步地将$R_0=\frac{I_p}{P_o}=\frac{e\eta}{h\nu}$和$M=\frac{I_m}{I_p}$代入$R$的式子，写成：

$$R=\frac{e \eta}{h \nu} \frac{I_{m}}{I_{p}}=\frac{e \eta}{h v} M=R_{0} M$$

例题

1. 一个 APD（雪崩光电二极管）在探测波长为 $900\text{nm}$ 的辐射时，其量子效率为 $80\%$。当入射光功率为 $0.5\mu\text{W}$ 时，该器件（经过雪崩增益后）的输出电流为 $11\mu\text{A}$。求该条件下光电二极管的倍增因子 $M$。

$$\nu=\frac{3\times10^8}{900\times10^{-9}}$$ $$R_0=\frac{e\eta}{h\nu}=\frac{1.6\times10^{-19}\times0.8\times900\times10^{-9}}{6.626\times10^{-34}\times3\times10^{8}}=0.57954A/W$$ $$R=\frac{I_p}{P_o}=\frac{11\times10^{-6}}{0.5\times10^{-6}}=22$$ $$M=R/R_0=22/0.57954=37.961$$

一个 p-i-n 光电二极管在波长为 $0.8\mu\text{m}$ 时，平均每三个入射光子产生一个电子-空穴对。假设所有电子都被接收器负载收集，请计算：

(i) 该器件的量子效率；

$$\eta=\frac{1}{3}=33.3\%$$

(ii) 其最大可能的禁带宽度（带隙能量，单位：焦耳）；

由半导体的禁带宽度-波长公式$\lambda=\frac{1.24}{E_g}$可以逆推得出：

$$E_g=\frac{1.24}{\lambda(\mu m)}=1.55eV=1.55\times1.6\times10^{-19}=2.48\times10^{-19}J$$

(iii) 当接收光功率为 $0.1\mu\text{W}$ 时的平均输出光电流。

$$I_p=R\cdot P_O=\frac{e\eta}{h\nu}P_O=\frac{1.6\times10^{-19}\times\frac{1}{3}}{6.626\times10^{-34}\times\frac{3\times10^{8}}{0.8\times10^{-9}}}\times(0.1\times10^{-9})$$ $$=2.1464\times10^{-13}A/W=21.464nA$$