EE6101-Digital-Comm-Systems-Part1-B-数字信号的采样与量化
引入
一个简单的数字通信系统如下图所示。对于模拟信号，它需要进行采样、量化，转换成数字信号后（数字text可以直接进行编码），进行编码。然后再对其进行调制与传输。
Recall：码元/符号（Symbol）
数字原始信息（例如一段文本对应的ASCII码），被称为消息（message）。如果将消息逐个发送，那么它就是一串只有0和1电平的二进制比特流。
然而在基带通信中，电平可以不仅为0,1。可以为多档电平以此来一次表达多个bit。例如假设一个基带信道有8档电平，那么一次就能表达3bit数据。因此，可以讲原始的消息重新打包成n个bit一组，构成一个码元（或符号）（symbol），再进行发送。码元的单位为Baud。
对于原始信息“THINK”，其6-bitASCII码（消息）如上图所示。对其使用3bit/symbol的编码，即可得到下面1,2,0…这一串码元。
脉冲编码调制（Pulse Code Modulation）
脉冲编码调制（PCM）是一种将模拟信号转换为数字信号的标准方法，广泛应用于语音、音频和视频的数字通信中。它包括三个主要步骤：
- 采样：将连续的电平采样为离散的电平
- 量化：将离散的电平的振幅使用有限的数字表示。即，振幅离散化
- 编码：为每个量化的电平分配一个码字。这里是信源编码，用于提高效率压缩冗余。
采样定律
奈奎斯特准则（Nyquist criterion）
准则内容
奈奎斯特准则：如果一个模拟信号的最高频率为 $f_m$，那么采样频率 $f_s$ 必须满足$f_s\geq 2f_m$。当$f_s=2f_m$时，称为奈奎斯特频率。
假设采样间隔为$T_s$，那么这一段信号的$f_s=\frac{1}{T_s}$，因此根据奈奎斯特准则有：
推导过程
假设采样间隔为$T_s$，则采样函数可以写成
因为采样信号是周期的，频率$f_s=1/T_s$，因此其频域使用傅里叶级数进行拆解。傅里叶级数的通式为：
其中$C_n$：
因为$x_\delta(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$，其在积分区间内只有$n=0$时有一个冲激函数，因此可以将其写成$\delta(t)$。
根据冲激函数的性质$\int_{a}^{b} \delta(t) g(t) dt = g(0)$，$g(0)=e^{-j2\pi n f_st}|_{t=0}=1$，因此$C_n=1/T_s$。因此采样信号的傅里叶级数表示为：
由于信号是在连续频谱上的，因此我们还需要对这个使用傅里叶级数展开的周期信号进行傅里叶变换，使得其和信号的频域单位相同。根据FT变换对$F\{e^{j2\pi nf_st}\}=\delta(f-nf_s)$，可以得到：
假设有如下的信号，其频域范围的$[-f_m,f_m]$。
使用抽样序列把它抽样下来，即，用抽样序列与它时域相乘。根据时域相乘=频域相卷，二者频域卷积如下图。
可见，必须当$f_s\geq2f_m$时，频域才不会出现混叠（aliasing）。这样才能保留信号的完整频率信息。
真实情况：持续一定时间的采样信号
冲激信号是理想化信号，在真实场景下采样不可能时间无限窄，因此真实的采样信号并非冲激序列，而是方波序列。假设方波持续时间为$T$（$T$极小），采样序列数学表达式为：
同样地，对这个周期信号使用傅里叶级数拆解：
同样地，在积分区间$[-T_s/2,T_s/2]$上，抽样信号仅有$n=0$时的一个方波，因此$\sum_{n=-\infty}^{\infty}rect(\frac{t-nT_s}{T})$可以简化为$rect(\frac{t}{T})$。除此之外，积分区间也可以由$[-T_s/2,T_s/2]$缩减至$[-T/2,T/2]$，在这个区间上，$rect$函数的振幅为1。
由于$\int_{-a}^{a} e^{-j \omega t} dt = \frac{2 \sin(\omega a)}{\omega}$：
将$f_s=1/T_s$代入：
回顾$sinc$函数定义$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$，可求得$C_n$最终结果：
则使用傅里叶级数表达的$x_p(t)$为：
对它进行傅里叶变换：
根据傅里叶变换的线性性质（和的变换等于变换的和），可将求和与变换交换顺序：
根据复指数信号的傅里叶变换对 $ \mathcal{F}\left\{ e^{j 2\pi n f_s t} \right\} = \delta(f - n f_s) $，代入上式：
与理想采样函数的频域对比，真实的采样被$\text{sinc}\left( \frac{nT}{T_s} \right)$的包络所包裹，如下图：
则原始信号经过采样后结果为：
抗混叠滤波
“混叠”本质上是采样不足导致的频谱重叠。有三类方法可以抗混叠
- 直接增加采样频率$f_s$，使其超过奈奎斯特频率
- 对信号进行采样前预滤波（prefilter），在采样前将其带宽压到$f_s/2$以下
- 当信号结构或带宽已知且能与混叠区时，对已采样数据做模型驱动的采样后滤波（postfilter），这能部分缓解混叠影响。但这依赖先验结构，并不通用。(用人话讲：拿滤波器取更窄的截止频率，直接把混叠部分滤掉)
后两种方法会造成一定的信号信息丢失。
由于可实现的滤波器过渡带并非为0，因此需要留有10%-20%的裕量给过渡带。因此本课定义了一个“工程师版本的奈奎斯特采样定律”，要求$f_s\geq2.2f_m$。这样就能有$20\%f_m$的裕量留给滤波器过渡带。
在实际应用中，一个信号的带限$f_m$通常取决于所需精度。
例如语音信号，由于其时间有限，频带无穷。但主要能量集中在3kHz内。因此在语音信号采样时一般先通过3500Hz的低通滤波器，再使用8k Sample/s 的采样速率进行采样。
而对于高质量的音乐信号，其带宽通常为20kHz，根据工程师版本的奈奎斯特采样定律，采样率应不低于44kHz。这恰好就在CD数字音频播放器的标准采样率：44.1kHz附近。除此之外，录音棚级别的音频采样标准是48kHz。
量化
在模拟信号被采样之后，振幅也需要进行离散化，映射到有限的序列中进行表示。根据映射规则的不同，大体可以分为均匀量化和非均匀量化。量化通常有以下指标：
- 量化级数M：将振幅划分为M个区间
- 量化间隔$\Delta$：每一级量化区间的间隔电压（区间的电压大小）
- 量化级别$q$：每一层量化区间最终的取值
- 量化噪声：采样电平与最终量化电平的差异$e(kT_s)=|mq(kT_s)-m(kT_s)|$
均匀量化（uniform quantizer）
均匀量化将模拟信号的幅度范围划分为若干个等间距的量化级别，然后将每个采样值映射到最接近的量化级别。
举个例子：假设模拟信号的幅度范围是 -4V 到 +4V，使用 8 个均匀量化级别。区间宽度$\Delta=1V$，量化级别$q$为中心值$\{-3.5v,-2.5v,…,3.5v\}$。则量化结果如下图所示：
非均匀量化（nonuniform quantizer）
为什么需要非均匀量化
对于均匀量化，有个问题：数据通常不是均匀分布的，例如下图是语音信号的统计，y轴表示超过当前对应x轴振幅的概率。可以明显看出，语音信号的小电压波动更多，而大电压出现情况极少。
如果我们还使用均匀量化，那么此时对于大部分的小电压信号的SNR可能就不够大。而非均匀量化来达到大电压压缩，小电压放大更好。
如何实现
在工程上设计非线性量化器，通常先将信号通过非线性元件对其进行非线性压缩（compression），如下图左。然后再对映射结果进行均匀量化（uniform quantizer），如下图中。最后即可得到下图右的非均匀量化结果。
在接收端，会应用该非线性操作的逆过程，称为扩展（expansion）。从发射端量化到接收端拓展过程如下图所示。
拓展和压缩有对应的数学公式表达。一组这样的数学公式被称为扩压器（compander）。有两种被广泛使用的扩压器：A-law和u-law。
u-law扩压器（compandor）
u-law是一种对数压缩函数，最初由贝尔实验室开发用于电话系统，常用于北美和日本的语音编码标准。其在发射端的压缩函数为：
其中：
- $x$ 是归一化的输入信号（范围在 -1 到 +1 之间）
- $\mu$是压缩因子，控制大信号压缩和小信号拓展的大小，北美通常使用 255（配套量化级数=128，7bits/sample）
在将采样到的$x$转换成$y$后，再进行均匀量化即可。
A-law扩压器（compandor）
A-law最初由欧洲电信标准化组织（ETSI）引入，主要在欧洲和其他一些地区使用。其发射端压缩函数为：
其中：
- $x’=x/x_{\max}$，$y’=y/y_{\max}$，表示归一化的输入和输出
- A为控制压缩拓展率的常数，常用$A=87.56$
