EE6101-Digital-Comm-Systems-Part1-C-数字信号的接收

引入：接收数字信号

对于一个被传输的数字信号，可以这样进行数学表达

$$s(t) = \begin{cases} s_1(t), & \text{for binary 1} \\ s_2(t), & \text{for binary 0} \ \end{cases}, \quad 0 \leq t \leq T$$

考虑这个信号被传输时会加噪声，例如加性高斯白噪声$ n(t) $，则可以得到：

$$r(t) = s_i(t) + n(t), \quad i = 1,2$$

在接收端，这个信号$r(t)$需要首先经过下变频变为基带信号，再经过接收滤波器、均衡滤波器；然后每过一段时间对其进行采样，再根据采样的阈值来判定接收到的是0还是1。如下图

由上图可以看出，接收数据大致被分为两个独立的步骤：

1. 将接收到的信号进行解调滤波，使其成为单一的基带码字$ Z(T)=a_i(T)+n_0(T) $，其中$a_i(T)$表示信号分量，$n_0(T)$表示噪声分量。
2. 将$Z(T)$与一个阈值$ \gamma $进行比较，从而判断它是$ s_1(t) $还是$ s_2(t) $

注意，由于在步骤1时经过了滤波器，假设接收到的$Z_r(T)=a_r(T)+n_r(T)$，那么$a_0$和$n_0$表示其经过滤波器之后的值。$a_0=a_r\otimes h(t)$，$n_0=n_r\otimes h(t)$。由于通常$h(t)$是个LTI系统，因此$n_r$为AWGN，$n_0$也是。

由于噪声影响，$Z(T)$将是一个随机变量。在上例中因其是加性高斯白噪声，因此其是高斯随机变量，中心值由$a_i$决定，如下图所示。

因此要根据他的概率，选择合适的判决门限。

本章节会介绍：

• 最大似然接收机——计算判决门限
• 匹配滤波器——在AWGN下采样时刻具有最大SNR接收滤波器
• 相关器接收机——匹配滤波器的另一种替代
• 单极与双极信号在相关器接收机下的误码率
• 码间干扰与抗码间干扰方法

最大似然接收机（Maximum-Likelihood Receiver）

最大似然接收机的目标是在已知信道统计特性和先验概率的条件下，通过比较接收统计量的“似然”来最小化判决错误的概率。这个解释过于抽象，考虑如下例子。

先验概率是指在没有接收信号前，已知发送$s_x$的概率。例如$P_r(s_1)$就是信道接收到$s_1$的概率。

现在已经知道 $s_1$或 $s_2$ 的先验概率分别为$P_r(s_1),P_r(s_2)$，则此时确定门限值$ \gamma=\frac{P_r(s_1)}{P_r(s_2)} $。即两个符号$s_1$和$s_2$出现概率的比值。

似然比检验（Likelihood-Ratio Test）

记$L(z)$为似然比（Likelihood-Ratio），它等于接收信号$z$在假设接收$s_1$下出现的概率密度比上$z$在假设接收$s_2$下出现的概率密度

$$L(z)=\frac{p(z|s_1)}{p(z|s_2)}$$

再将$L(z)$与$\gamma$进行比较即可；记“假设$H_1$”代表“认为发送的信号是$s_1$”；“假设$H_2$”代表“认为发送的信号是$s_2$”。那么，在$L(z)>\gamma$时，接受假设$H_1$，判定接收了$s_1$；在$L(z)<\gamma$时，接受假设$H_2$，判定接收了$s_2$。记作下式：

$$L(z) = \frac{p(z|s_1)}{p(z|s_2)} \begin{array}{c} {\stackrel{H_1}{>}} \\ {\underset{H_2}{<}} \end{array} \frac{\Pr(s_2)}{\Pr(s_1)} = \gamma$$

等先验概率+对称PDF下的ML判决

当 $\Pr(s_1)=\Pr(s_2)$时，上式简化为

$$L(z) = \frac{p(z|s_1)}{p(z|s_2)} \begin{array}{c} {\stackrel{H_1}{>}} \\ {\underset{H_2}{<}} \end{array} \frac{\Pr(s_2)}{\Pr(s_1)} = 1$$

若碰巧$p(z|s_1)$和$p(z|s_2)$又是对称的，例如上面举例的高斯分布，那么最佳判决门限就是$\frac{a_1+a_2}{2}$

• 如果是单极信号，$a_2=0$，则判决门限$\gamma=\frac{a_1}{0}$
• 如果如果是双极信号，$a_1=-a_2$，则判决门限$\gamma=0$

ML接收机的误码率

记发送了$s_1$为事件A，接收采样出$s_2$为事件B，那么误码就是事件AB同时发生P(AB)，可以使用条件概率的公式写成$P(AB)=P(B|A)P(A)$。

那么同理地，记$\rightarrow s_2$为解码出$s_2$，$\rightarrow s_1$为解码出$s_1$。误码率$P_B$就是发送$s_1$解析出$s_2$同时发生的概率+发送$s_2$解析出$s_1$同时发生的概率。

$$P_B=P(\rightarrow s_2|s_1)Pr(s_1)+P(\rightarrow s_1|s_2)Pr(s_2)$$

课程简化假设1：两个符号等概。假设$Pr(s_1)=Pr(s_2)=0.5$，那么$P_B$可以化简为：

$$P_B=0.5[P(\rightarrow s_2|s_1)+P(\rightarrow s_1|s_2)]$$

课程简化假设2：接受侧的$p(z|s_1)$和$p(z|s_2)$对称。那么就有$P(\rightarrow s_2|s_1)=P(\rightarrow s_1|s_2)$。因此$P_B$可以进一步简化为：

$$P_B=[P(\rightarrow s_2|s_1)=P(\rightarrow s_1|s_2)$$

以$P(\rightarrow s_1|s_2)$为例，该事件等价于“发了$s_2$却采纳了假设$H_1$”，即$P[Z>\frac{a_1+a_2}{2}\ |s_2]$，它就是下图中的红色区域。

因此使用高斯函数的PDF和第一章中介绍的Q function（尾数函数）就可以计算它的概率分布。$Q\bigg(\frac{x-\mu}{\sigma}\bigg)$表示$x$点右侧的概率密度，上例中均值$\mu=a_2$，方差$\sigma=\sigma_0$，$x$点是$\frac{a_1+a_2}{2}$

$$P_B=Q\bigg(\frac{\frac{a_1+a_2}{2}-a_2}{\sigma_0}\bigg)=Q\bigg(\frac{a_1-a_2}{2\sigma_0}\bigg)$$

匹配滤波器（Matched Filter）

匹配滤波器是指的滤波器对特定的信号进行匹配，使得有用的信号在滤波器输出在采样时刻达到峰值的滤波器。匹配滤波器只有在加性高斯白噪声（AWGN）下才是最优解。

高斯白噪声的带宽非常宽，对于模拟信号，常用带通滤波。然而在数字通信中，更关注特定时刻的信号质量，如果采样时刻为T，那么T之外的时候信号长什么样不重要，在T时有最大信噪比就行。

匹配滤波器是什么

先说结论，如果接收滤波器的单位冲击响应（时域）是输入信号的时域的镜像，并延迟符号时间T。那么该滤波器是匹配滤波器，能在采样时刻提供最大的信噪比。

用数学表达，若接收信号的符号为$s(t)$，每个符号的持续时间为$T$，则滤波器的时域响应$h(t)$为$h(t)=s(T-t)$。匹配滤波器是一个因果滤波器。

考虑这个例子：

假设收到的数字信号是一个个方波，1为正方波，0为负方波。如下图左侧所示。取1的$s(t)$图像，作$h(t)=s(T-t)$，得到中间的图像，也是一个方波。当信号经过接收滤波器时，其为$s(t)*h(t)$，将三个信号分别卷积后再叠加。由于方波卷方波等于三角波，其卷积叠加后结果如下图右侧。

此时我们发现，经过了匹配滤波器，信号在$T,2T,3T$这三个采样点达到峰值。这就是匹配滤波器干的事情。

数学证明

1.使用PSD表达SNR

假设现有信号$Z(T)=a_i+n_0$，噪声$n_0$是方差为$\sigma_0^2$，均值为0，双边PSD为$N_0/2$的AWGN。

方差$\sigma^2_X=\int^{\infty}_{-\infty}[x-E(X)]^2p_X(x)dx$，由于均值为0，$E(X)=0$，则方差可以退化为$\sigma^2_X=\int^{\infty}_{-\infty}[x]^2 p_X(x)dx$，即$E(X^2)=E(n_0^2)$。可见，这就是噪声的能量。

则第T个采样的SNR为：

$$(S/N)_T=\frac{a_i^2}{\sigma_0^2}$$

其中$\sigma_0^2$可以写为其功率谱密度积分的形式。对于AWGN，其单位功率谱密度为$G_{in}(f)=\frac{N_0}{2}$，经过系统为$H(f)$的滤波器后，功率谱密度就变成了$G_{out}(f)=G_{in}(f)\cdot|H(f)|^2=\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$。因此有：

$$\sigma_0 ^2=\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df$$

对于信号部分：

$$a(t)=F^{-1}\{H(f)S(f)\}=\int_{-\infty}^{\infty}H(f)S(f)e^{j2\pi f t}df$$

那么，在$t=T$时刻，接收信号的SNR可以改写成：

$$(S/N)_T=\frac{\bigg|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)S(f)e^{j2\pi f T}df\bigg|^2}{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df}$$

2.根据施瓦茨不等式最大值条件求得$H(f)$

施瓦茨不等式（Schwarz’s Inequality）：

$$\bigg|\int_{-\infty}^{\infty}f_1(x)f_2(x)dx\bigg|^2\leq\int_{-\infty}^{\infty}|f_1(x)|^2dx\int_{-\infty}^{\infty}|f_2(x)|^2dx$$

取最大值的条件是：$f_1(x)=kf_2^*(x)$，即$f_1$是$f_2$的共轭的常数k倍。

令$f_1(x)=H(f)$视作，$f_2(x)=S(f)e^{j2 \pi fT}$，那么根据施瓦茨不等式：

$$\bigg|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)S(f)e^{j2\pi f T}df\bigg|^2\leq\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)e^{j2 \pi fT}|^2df$$

要使SNR最大，就是让是施瓦茨不等式取等号，即满足$H(f)=k[S(f)e^{j2 \pi fT}]^=kS^(f)e^{-j2 \pi fT}$

对于实数信号$s(t)$，其$S(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j2\pi ft}dt$，而其共轭$S^(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s^(t)(e^{-j2\pi ft})^dt$。由于实数信号$s^(t)=s(t)$，因此$S^(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{j2\pi ft}dt$，即$S^(f)=S(-f)$。

那么，滤波器的频响$H(f)$可进一步写成：

$$H(f)=kS(-f)e^{-j2 \pi fT}$$

其时域$h(t)$就是

$$h(t)=F^{-1}\{kS(-f)e^{-j2 \pi fT}\}=\int_{-\infty}^{\infty}kS(-f)e^{-j2 \pi f(T-t)}df$$

记$\lambda=-f$，改写为：

$$h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}kS(\lambda)e^{j2 \pi \lambda(T-t)}df=k\int_{-\infty}^{\infty}S(\lambda)e^{j2 \pi \lambda(T-t)}df$$

这恰好是$S(\lambda)$的FT逆变换。因此$\int_{-\infty}^{\infty}S(\lambda)e^{j2 \pi \lambda(T-t)}df=s(T-t)$。故最终得到：

$$h(t)=ks(T-t)$$

使用匹配滤波器时的最大SNR

由于信号部分的SNR取了不等式的最大值：

$$\bigg|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)S(f)e^{j2\pi f T}df\bigg|^2=\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)e^{j2 \pi fT}|^2df$$

由于$ |e^{j2\pi fT}|^2 = 1$，因此不等式可进一步化简为：

$$\bigg|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)S(f)e^{j2\pi f T}df\bigg|^2=\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^2df$$

此时SNR为：

$$(S/N)_T=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^2df}{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df}=\frac{2}{N_0}\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^2df$$

若记信号的能量$\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^2df=E$，则SNR为：

$$(S/N)_T=\frac{2E}{N_0}$$

相关器接收机（Correlator Receiver）

相关器接收机

相关器接收机是什么

相关器接收机只需要简单的乘法和积分运算（相干运算），即可在采样点T实现与匹配滤波器同样的输出（但输出仅在采样点T等效，其余时刻不等效。)

相干运算（Coherent calculation）的典型运算形式是乘法+积分：$Z=\int_0^Tr(t)s(t)dt$，它能反两个信号频率一致性，因果性或传递关系。

相关器（Correlator）使用$s(t)$与接收信号相乘，然后再对$[0,T]$进行积分。

原理如下：

对于匹配接收机，$h(t)=s(T-t)$，那么收到信号$r(t)$经过匹配滤波器输出的$z(t)$为：

$$z(t)=h(t)\otimes r(t)=\int_0^tr(\tau)h(t-\tau)d\tau=\int_0^tr(\tau)s(T-t+\tau)d\tau$$

由于$h(t)=s(T-t)$，其仅在单个符号周期内$[0, T]$有响应，因此积分上下限可以变更为：

$$z(t)=\int_0^Tr(\tau)s(T-t+\tau)d\tau$$

而当$t=T$这个时刻时：

$$z(T)=\int_0^Tr(\tau)s(T-T+\tau)d\tau=\int_0^Tr(\tau)s(\tau)d\tau$$

这恰好就是将收到的信号$r(t)$与$s(t)$相乘之后，在$[0,T]$内积分。于是在采样时刻T，相干器与匹配滤波器的输出是相等的。但在其他时候并不相等，如下图：

相乘信号$s(t)$如何得到

看到上面这个公式，不免有个疑问：我要是已经知道了用来相乘的$s(t)$，我还需要那么大费周章得去降低噪声的影响么？

其实不然，这个相干的$s(t)$是由编码差异得到的，比如有两个符号$s_1$和$s_2$，实际用来相乘的$s(t)=s_1-s_2$。同理，在设计匹配滤波器时，它的$h(t)=s(T-t)$也是由$s_1-s_2$得到的。这是由于它的本质是无信号假设（0）和有信号假设（1），认为0的信号是只有噪声的，那么0和1的区别就是信号。

单极性信号的例子

例如单极信号的$s_1=A, s_2=0$，那么$s(t)$其实就是一个持续时间为$T$的振幅为A的方波。

为什么在这里要用两个信号的差值来当做$s(t)$呢？这其实是在进行互相关性的模板匹配。在接收端将接收信号与已知信号模板做互相关，若结果出现峰值，则说明该信号存在。那么现在我们有$s_1,s_2$两种符号要检测，可以对它做两次互相关：

$$Z_1=\int_0^Tr(t)s_1(t)dt,\quad Z_2=\int_0^Tr(t)s_2(t)dt$$

若$r(t)$里面包含的是符号$s_1$，则$Z_1$应当具有波峰，而$Z_2$几乎等于0；反之。

那么如果将二者合二为一的？

$$Z=\int_0^Tr(t)[s_1(t)-s_2(t)]dt=Z_1-Z_2$$

此时，若$r(t)$里面包含的是符号$s_1$，则$Z$应当具有正向波峰，振幅与$s_1^2$在符号周期内积分相当；若包含$s_2$，$Z$应具有反向波峰，振幅与$s_2^2$在符号周期内积分相当。

这就是本课后面许多相乘信号都是$s_1-s_2$的原因。

双极性信号的例子

对于双极性信号，有两种分式：1、可以取信号差异；2、可以用两个分支分别解码。

1.取信号差异

双极信号的$s_1=A, s_2=-A$，假设$s(t)=s_1-s_2=2A$

$$Z=\int_0^Tr(t)2Adt$$

如果$r(t)=s_1=A$，那么$Z=2A^2T$；如果$r(t)=s_2=-A$，那么$Z=-2A^2T$。

2.两个分支分别与$A$和$-A$进行相关性计算，再作差

$$Z_1=\int_0^Tr(t)Adt,\quad Z_2=\int_0^Tr(t)(-A)dt$$

如果$r(t)=s_1=A$，那么$Z_1=A^2T,Z_2=-A^2T,Z=Z_1-Z_2=2A^2T$；

如果$r(t)=s_2=-A$，那么$Z_1=-A^2T,Z_2=A^2T,Z=Z_1-Z_2=-2A^2T$。

信号在相关接收机与AWGN下的性能

单极信号的误码率（BER of Unipolar Signalling）

考虑单极信号：

$$\begin{cases} s_1(t)=A,\quad &0\leq t\leq T\ \text{for binary 1}\\ s_2(t)=0,\quad &0\leq t\leq T\ \text{for binary 0} \end{cases}$$

1.信号部分

此时用于相关接收机乘法的$s(t)=s_1(t)-s_2(t)=A$。若接受$s_1$和$s_2$产生的输出分别为$a_1$和$a_2$：

$$a_1=\int_0^TA\cdot Adt=A^2T$$ $$a_2=\int_0^T0\cdot Adt=0$$

在AWGN信道下，它的最佳决策门限是$\frac{1}{2}A^2T$。

2.噪声部分

噪声在经过相关接收机之后输出$n_0(T)=\int_0^Tn(t)Adt$，根据期望的线性性质（积分与期望可交换顺序）和AWGN零均值特性，它的期望是：

$$E[n_0]=E\bigg[\int_0^Tn(t)Adt\bigg]=\int_0^TA⋅E[n(t)]dt=0$$

由于期望是0，方差由二阶中心距退化成原点矩$\sigma_0^2=E[n^2(T)]$：

$$\sigma_0^2=E\bigg[\bigg(\int_0^Tn(t)Adt\bigg)^2\bigg]= \mathbb{E}\Bigg[\int_{0}^{T}\int_{0}^{T} A\, n(t)\, A\, n(s)\, dt\, ds\Bigg]$$ $$=A^2\int_0^T\int_0^TE[n(t)n(s)]dtds$$

由于宽平稳随机过程自相关函数$R_n(\tau)=E[n(t)n(t-\tau)]$，$E[n(t)n(s)]$与其自相关函数$R_n(t-s)$等价。白噪声的自相关函数是$\frac{N_0}{2}\delta(t-s)$，因此：

$$\sigma^2=A^2\int_0^T\int_0^T\frac{N_0}{2}\delta(t-s)dtds=A^2\frac{N_0}{2}\int_0^T\int_0^T\delta(t-s)dtds$$

由于$\delta(t-s)$只会在$t=s$时留下1，其余时候都是0，因此内层积分的值仅为1。

$$\sigma^2=A^2\frac{N_0}{2}\int_0^T1\cdot ds=A^2T\frac{N_0}{2}$$

噪声部分期望和方差的数学推导有点难以理解，特别是对随机过程微积分。因此这里提供另一种频域的视角：

对于相关接收机，它的单位冲激响应如下图所示，是一个振幅为A，持续时间为T的方波。

将噪声$ n(t) $通入这个系统，其时域相卷等于频域相乘。相应的，输出PSD是噪声PSD与系统的功率增益相乘$S_n(f)\cdot|H(f)|^2$。噪声信号的总功率是$\int_{-\infty}^{\infty}S_n(f)\cdot|H(f)|^2df$。已知AWGN的PSD为$S_n(f)=\frac{N_0}{2}$，则平均功率是：

$$\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df$$

而根据帕塞瓦尔定理，$\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df=\int_0^T|A|^2dt=A^2T$。由此得到噪声信号的平均功率是$\frac{N_0}{2}A^2T$。

这里需要先知道一个宽平稳随机过程的特性：随机过程的平均功率定义为其均方值的时间平均，对于宽平稳过程，等于任意时刻的均方值，因为宽平稳随机过程的$E[X^2(t)]=常数$，所以$P=\lim⁡_{T→\infty}\frac{1}{T}∫_0^TE[X^2(t)] dt=E[X^2(t)]$

在数学推导中提到过，因为其期望为0，所以方差$\sigma_0^2=E[n^2(T)]$，这恰好就是噪声的平均功率，所以：

$$\sigma^2_0=\frac{N_0}{2}A^2T$$

3.误码率结果

那么，经过相关接收机后，符号有$a_1=A^2T,a_2=0$两种状态，噪声均值为0，方差为$A^2T\frac{N_0}{2}$。根据最大似然接收机章节的分析，当两符号等概且接收端条件PDF相等时，$P_B=Q(\frac{a_1-a_2}{2\sigma_0})$，代入$a_1=A^2T,a_2=0,\sigma_0=\sqrt{A^2T\frac{N_0}{2}}$

$$P_B=Q\bigg(\frac{A^2T}{2\sqrt{A^2T\frac{N_0}{2}}}\bigg)=Q\bigg(\frac{\sqrt{\frac{1}{2}A^2T}}{\sqrt{N_0}}\bigg)=Q\bigg({\sqrt{\frac{\frac{1}{2}A^2T}{N_0}}}\bigg)$$

信号的平均能量$E_b=(A^2T+0)/2=\frac{1}{2}A^2T$，将$P_B$改写成：（注意，这个地方的信号平均能量为不经过积分器之前的。）

$$P_B=Q\bigg({\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}}\bigg)$$

双极信号的误码率（BER of Unipolar Signalling）

对于双极信号：

$$\begin{cases} s_1(t)=A,\quad &0\leq t\leq T\ \text{for binary 1}\\ s_2(t)=-A,\quad &0\leq t\leq T\ \text{for binary 0} \end{cases}$$

相较于单极信号，有如下差异：

• 相关接收机输出$a_1=2A^2T$，$a_2=-2A^2T$
• 最佳决策门限为$0$
• 平均信号能量为$E_b=(2A^2T+2A^2T)/2=2A^2T$
• 噪声的方差为$\sigma^2=2A^2T$

噪声特性保持不变。那么经过相关接收机后，符号有$a_1=2A^2T,a_2=-2A^2T$两种状态。噪声均值为0，方差为$2A^2T\frac{N_0}{2}$。当两符号等概且接收端条件PDF相等时，$P_B=Q(\frac{a_1-a_2}{2\sigma_0})$，代入$a_1=2A^2T,a_2=-2A^2T,\sigma_0=\sqrt{2A^2T\frac{N_0}{2}}$

$$P_B=Q\bigg(\frac{4A^2T}{2\sqrt{2A^2T\frac{N_0}{2}}}\bigg)=Q\bigg(\sqrt{\frac{4A^2T}{N_0}}\bigg)$$ $$P_B=Q\bigg({\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}}\bigg)$$

这些BER结果页适用于带通调制信号，例如ASK，PSK。这将在下一章节进行推导。

码间干扰（Inter Symbol Interference）

码间干扰是什么

在一次传输中，通常需要经过发射滤波器$H_t(f)$，传输信道$H_c(f)$和接受滤波器$H_r(f)$。由于这些滤波器非理想，加之信道特性干扰，可能会使得一个码元在经过传输后产生拖尾的现象，这个拖尾会影响到另一个码元的电平值，这就是码间干扰。

在实际应用中，信道传输函数$H_c(f)$ 通常已经被指定好，因此需要设计好发射滤波器和接收滤波器来消除码间干扰。

奈奎斯特法去ISI（奈奎斯特滤波器）

记整个信号的传输函数$H(f)=H_t(f)H_c(f)H_r(f)$，奈奎斯特的方法是使得整个$H(f)$在$[-\frac{1}{2T},\frac{1}{2T}]$间是高度为$T$的矩形窗。这样它对应的时域冲激响应就是$sinc$函数，如下图所示。

在每个抽样点$T$处，前一个$sinc$函数在这里的值都是0，因此无ISI影响。记码元速度为$R_s$，由于码元速率$R_s=\frac{1}{T}$。此时，系统的带宽有等式$BW = \frac{1}{2T}=\frac{R_s}{2}$。此时的频带利用率是$R_s/BW=2 symbol/Hz$。

然而，要在现实实现奈奎斯特这个方法是不可能的。因为$H(f)$是一个非因果系统，它不可物理实现。另外，这种方法的无ISI点是在非常精确的$T$时刻，如果采样时刻稍有误差，那就会有很大的码间干扰。因此需要一些更好的选择，例如升余弦滤波器。

升余弦滤波器

升余弦滤波器在抗码间干扰中非常常用，其对应的$H(f)$为：

$$H(f) = \begin{cases} 1, & |f| < 2W_0 - W \\ \cos^2\left( \frac{\pi}{4} \cdot \frac{|f| + W - 2W_0}{W - W_0} \right), & 2W_0 - W < |f| < W \\ 0, & |f| > W \end{cases}$$

或记为滚降因子形式：

$$H(f) = \begin{cases} 1, & |f| \leq \frac{1-\alpha}{2T}\\ \frac{1}{2}[1+\cos\left( \frac{\pi T}{\alpha}\left[|f|-\frac{1-\alpha}{2T}\right] \right), & \frac{1-\alpha}{2T} < |f| < \frac{1+\alpha}{2T}\\ 0, & otherwise \end{cases}$$

其中

• $\alpha=(W-W_0)/W_0$被称为滚降因子（roll-off factor）。描述 “额外带宽” 相对于 “最小 Nyquist 带宽” 的比例；$\alpha$越大，额外带宽越多，时域脉冲的拖尾衰减越快（越容易实现），但总带宽也越宽。当$\alpha=0$时，升余弦滤波器退化为奈奎斯特滤波器。
• $W_0$是是最小奈奎斯特带宽，即奈奎斯特滤波器的带宽。
• $W-W_0$是额外带宽（Excess Bandwidth），升余弦滤波器超出 “最小 Nyquist 带宽” 的部分，是为了让时域脉冲更易实现而牺牲的带宽

系统总带宽为（仅包含正频率）

$$W=(1+\alpha)W_0=\frac{1}{2}(1+\alpha)R_s$$

对于ASK或PSK这种调制后的双边带带通信号，由于调制会让负数频率部分全部移到正频率上，因此它所需的总带宽就是$W_{DSB}=(1+\alpha)R_s$

滚降因子在课程中记作$r$

滚降滤波器的单位冲激响应为

$$h(t)=2W_0\text{sinc}(2W_0t)\frac{\cos[2\pi(W-W_0)t]}{1-4(W-W_0)t^2}$$

例题：

(a) 若系统传输特性为具有 100% 过量带宽（r = 1）的升余弦频谱，求在基带传输一个四电平 PAM 脉冲序列时所需的最小带宽，其中数据速率为 $ R = 2400 \text{bit/sec}$

由于是4电平调制，1 symbol = 2bits。因此$R_s=R/2=1200symbol/s$

$BW=\frac{1}{2}(1+1)R_s=1200Hz$

(b) 将相同的 PAM 序列调制到一个载波上，使得基带频谱被移位并以频率 $f_0$ 为中心。假设系统传输特性与(a)部分相同，求传输该调制 PAM 序列所需的最小双边带（DSB）带宽。

$W_{DSB}=(1+r)R_s=(1+1)1200=2400Hz$