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运算放大器是干嘛的
如其名字，运算放大器的本质是一个放大器，放大器就是把小的电压放大或者把小的电流放大。运放还可以设计出一些特殊的电路，来做加减积分导数这些运算；或是对信号大小进行比较。故它是一个有运算功能放大器，叫运算放大器。
在硬件设计中，常常遇到这样一类情景：一个音频信号非常小，我需要让他振幅足够大来驱动音响，同时由于音响的阻抗很低，因此流过音响的电流也很大。需要一个设备，把振幅很小，带载能力很小（即，产生这个振幅的器件不能通过大电流）的信号放大成振幅很大，带载能力也很大的信号。这就需要运算放大器，准确的说是运放里面支持大电流的这一类，它们被称为功率放大器（功放）。
放大器相关的术语和符号
- $v_o$：输出电压（通常用V表示直流，v表示交流）
- $v_i$：输入电压（通常用V表示直流，v表示交流）
- $A_V$：电压压增益，$A_v=\frac{输出电压}{输入电压}=\frac{V_o}{V_i}$
- $A_i$：电流增益，$A_i=\frac{输出电流}{输入电流}=\frac{i_o}{i_i}$
- $A_p$：功率增益，$A_p=\frac{输出功率}{输入功率}=\frac{v_oi_o}{v_ii_i}$
因为当信号波动或是增益数值变动非常小时，直接表达有点难以察觉微小数值的差异，因此常用对数以dB的形式表达：
- dB表达的功率增益：$10\log A_p$
- dB表达的电压增益：$20\log A_V$
- dB表达的电流增益：$20\log A_i$
可以看到，电压和电流都是$20\log$，但是功率却是$10\log$，这与功率和幅度的关系密切相关。功率通常与幅度的平方成正比，因此当计算幅度比时，需要引入平方关系，最终体现为20log的形式。这是一个为了观察正比关系的约定俗成。
- 输入阻抗：放大器信号输入端输入电压与电流的比值（即，输出端的内阻）
- 输出阻抗：放大器输出端直接接地时，输出电压与电流的比值（即，输出端的内阻）
放大器输入阻抗越大，输出阻抗越小，越好。
理想运算放大器
运算放大器通常用下图的符号表示。$+VCC$和$-VEE$是他的正负供电。$v-$被称为反向放大输入端，$v+$是正向放大输入端。
对于一个理想的运算放大器，它的增益是无穷大的，也就是说，$v_o$可以被放大到任意想要的电压。但是在现实设计中，这个$v_o$是被限制在放大器本身的参数内的，例如这个放大器只支持$\pm15v$的供电，那$v_o$最多也就到$\pm15v$（注意，有可能供电能到$\pm15v$，但是$v_o$不行，这被成为非轨对轨运放）。
由于我们是在把一个小电压小电流的信号放大到大电压大电流的信号，因此理想放大器的输入阻抗是无穷大，输出阻抗是无穷小。
运算放大器的开环增益
开环增益
运算放大器还有一个外号叫差分放大器，因为它会放大$v-$和$v+$之间的电压，这个放大的倍数被称为开环增益。
如果在$v-$和$v+$之间施加一个电压$V_i$，如下图所示，此时$V_i$就是$v-$和$v+$之间的电压差，$v_o=A_{vo}Vi$，$A_{vo}$是开环增益。理想运放的开环增益是无穷大。即，如果$v-$和$v+$之间有一个很小的电压差，那么运放也会把它放大成无穷。
但是在实际的运放中，运放产生出的$v_o$的范围被限制在自己接受的供电的范围内，即，$VCC$和$-VEE$内。VCC和VEE的的两个电压被称为“电轨（rail）”，运放输出的$v_o$只能在“电轨”之间。
大部分的运放$v_o$是不能触及电轨的，即$v_o$不能等于$VCC$或$VEE$，如果$v_o$可以等于，那么这类运放被称为轨至轨（rail to rail）运放。
当运放输出的电压达到自己能力的极限时，称其饱和。
虚短和虚断
虚路和虚断是指运放在闭环工作模式下，$v-$和$v+$之间的电压相等，如同两个点短路一般；同时两个点的电流都不会相互流动，流入运放的电流几乎为0，如同断路一般。这是运放的一个特性。
考虑下图这样一个情景，在$v+$处施加一个电压为$v_1$，$v-$处初始电压为0，那么$v-$和$v+$之间存在电压差，$v_o$就会慢慢开始抬升。由于$v-$与$v_o$联通了，他们俩电压是一样的，这个抬升就会持续到$v_o=v-=v+$为止。
这个例子阐释了运放在闭环工作下的核心：$v_o$会调整自己的值，直到差分输入之间平衡，$v_o$就稳定。这造就了运放的虚短性质。
又因为理想运放的输入阻抗无限大，电流几乎流不进运放，所以两个点之间只有电压相等，没有互相的电流流动。这被称为虚断。
压摆率
压摆率，也称为转换速率，是放大器输出电压在单位时间内所能变化的最大速率，单位为V/μs。
当输入一个大幅值的高频信号时，如果信号变化的速度超过了运放的压摆率，输出波形就会失真。正弦波会变成三角波，方波会变成梯形波。因为运放输出波形爬坡的能力就那么点，没有办法追上高频信号所要求的速度。
运算放大器的放大电路
运算放大器的功能有很多，
反相放大电路
首先，$v+$被接入了$0v$，那么根据虚短，$v-$这个点也是$0v$。
$V_i$经过一个$1k\Omega$的电阻到达$v-$，那么这个电阻上承载的电流就是$I=\frac{V_i-0v}{1k\Omega}$。
由于虚断，所有的电流只能通过$33k\Omega$的电阻走出去。那么$33k\Omega$电阻左边是$0v$，经过的电流是$I=\frac{V_i}{1k\Omega}$，电流方向为从左到右，那么电阻右侧的$v_o$就等于$(v-)-(电阻上承载的电压)$，即，$0-U=-IR$
可以看到，这个放大器的增益是33倍，输出电压与输入电压是相反的（即，相位为$180\degree$）。故称其为反向放大器。
为什么称这里相位是180度呢？想象一下，假设输入信号是$\cos(x)$，这个信号经过反向放大器，变成了$-\frac{R2}{R1}\cos(x)$。由于$\cos(x+\pi)=-\cos(x)$，可以把这个负号塞回cos里面。即$v_o=\frac{R_2}{R_1}\cos(x+\pi)$，相当于增加了180度相位。
记$33k\Omega$的电阻为$R_2$，记$1k\Omega$的电阻为$R_1$，反向放大电路的增益为$A_v=-\frac{R_2}{R_1}$。
同相放大电路
我们更改一下接法，把$V_i$接在$v+$的地方，原来接$v_i$的$R_1$左侧直接接地，再次分析：
此时$v+=V_i$，由于虚短，$v-=v+=V_i$。
此时$R_1$左侧为$0v$，右侧为$V_i$。那么经过它的电流就是：$I=\frac{V_i}{R_1}$，方向从右往左。
由于虚断，这些电流全都是从$R_2$上过来的，$R_2$左侧电压是$V_i$，右侧电压是$v_o$，因此可以列出等式：
整理得：
可以看到，这个放大器的增益是$(\frac{R_2}{R_1}+1)$，输出电压与输入电压是相同的（即，相位为$0\degree$）。故称其为同相放大器。
代入上图中的值，可以得出上图放大器增益是$34$，即$v_o=34V_i$