引入

本章关注的问题是：在加性高斯噪声中检测已知的确定性信号（即信号形式已知、噪声是高斯分布且统计特性已知）。信号和噪声的PDF已知，这类问题只属于简单检测问题。

对于这类问题：

若要在 “虚警概率 (P_{FA}) 恒定” 的约束下最大化检测概率 (P_D)，使用奈曼 - 皮尔逊（NP）准则。
若要最小化平均代价，使用贝叶斯风险准则。

由于假设噪声是高斯的，在这种简单场景下，检测统计量是数据的线性函数，这让我们能很容易地分析检测器性能。

基于这些假设推导出来的检测器就是匹配滤波器，它在很多 “信号由设计者控制” 的场景中被广泛应用，比如相干通信系统（如数字调制中的信号检测）。

匹配滤波器（Matched Filters）

在本章节对匹配滤波器的推导中，将着重推导似然比由似然比得到的统计检验量。后续检验是使用NP方法还是使用贝叶斯方法的，由裁决阈值决定。

假设与推导

信号模型

假设无信号表示0，有信号表示1，那么决策就是在如下两种情况之间：

(\mathcal{H}_0)：观测数据 (x[n] = w[n])
(\mathcal{H}_1)：观测数据 (x[n] = s[n] + w[n])

其中$s[n]$是已知信号，$w[n]$是方差为$\sigma^2$的WGN。

白高斯噪声的自相关函数定义为 (r_{ww}[k] = E(w[n]w[n+k]))，由于其 “白” 的特性（不同时刻噪声不相关），满足：

$r_{ww}[k] = \sigma^2 \delta[k]$

其中(\delta[k])是离散时间冲激函数（(\delta[0]=1)，(k \neq 0)时(\delta[k]=0)）。

似然比推导

对于(\mathcal{H}_0)，(x[n] = w[n] \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2))，因此：

$p(\mathbf{x}; \mathcal{H}_0) = \prod_{n=0}^{N-1} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{x^2[n]}{2\sigma^2} \right) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{\frac{N}{2}}} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1} x^2[n] \right)$

对于(\mathcal{H}_1)，(x[n] = s[n] + w[n] \sim \mathcal{N}(s[n], \sigma^2))，因此：

$p(\mathbf{x}; \mathcal{H}_1) = \prod_{n=0}^{N-1} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x[n]-s[n])^2}{2\sigma^2} \right) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{\frac{N}{2}}} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1} (x[n]-s[n])^2 \right)$

似然比为：

$L(\mathbf{x}) = \frac{\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{\frac{N}{2}}} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1} (x[n]-s[n])^2 \right)}{\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{\frac{N}{2}}} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1} x^2[n] \right)}$ $= \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1} (x[n]-s[n])^2 - \sum_{n=0}^{N-1} x^2[n] \right] \right)$

取对数，然后进一步化简：

$l(\mathbf{x})=-\frac{1}{2\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1} (x[n]-s[n])^2 - \sum_{n=0}^{N-1} x^2[n] \right]=$ $=-\frac{1}{2\sigma^2}\left[\sum_{n=0}^{N-1} (x[n]-s[n])^2 - \sum_{n=0}^{N-1} x^2[n]\right] = -\frac{1}{2\sigma^2}\left[\sum_{n=0}^{N-1} \left( x^2[n] - 2x[n]s[n] + s^2[n] - x^2[n] \right)\right]$ $= -\frac{1}{2\sigma^2}\left[\sum_{n=0}^{N-1} \left( -2x[n]s[n] + s^2[n] \right)\right]= -\frac{1}{2\sigma^2}\left[-2\sum_{n=0}^{N-1} x[n]s[n] + \sum_{n=0}^{N-1} s^2[n]\right]$ $= \frac{1}{\sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]s[n] - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1} s^2[n]$

由于(s[n])是已知信号（与数据(x[n])无关），我们可以将常数项合并为新的阈值(\gamma’)，定义检测统计量 (T(\mathbf{x}))：

$T(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} s[n]x[n]$

判别阈值为：$\gamma’=\sigma^2\ln\gamma +\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{N-1} s^2[n]$

为何被称作匹配滤波器

一个滤波器系统为$h(t)$，对于离散的情况的FIR滤波器，输出是：

$y_s[k] = \sum_{n=0}^{N-1} h[n]s[k-n]$

输出的噪声分量功率为：(\text{Var}(y_w[k]) = \sigma^2 \sum_{n=0}^{N-1} h^2[n])
输出信噪比（SNR）为：(\text{SNR} = \frac{(y_s[N-1])^2}{\sigma^2 \sum_{n=0}^{N-1} h^2[n]})

为了最大化 SNR，对(h[n])求极值（利用柯西 - 施瓦茨不等式或拉格朗日乘数法），可推导出最优的(h[n])满足：

$h[n] = C \cdot s[N-1-n]$

（C为常数，不影响相对大小，通常取(C=1)）

此时若接收信号的符号为$s(t)$，每个符号的持续时间为$T$，则滤波器的时域响应$h(t)$为$h(t)=s(T-t)$。即，接收滤波器的单位冲击响应（时域）是输入信号的时域的镜像，并延迟符号时间T，如下图所示。即，滤波器冲激响应与信号 “匹配（matched）”，因此称为匹配滤波器。

将$h[k]$代回$y_s[k]$：

$\sum_{k=0}^{N-1} s[N-1-k]x[N-1-k] = \sum_{n=0}^{N-1} s[n]x[n] \quad (\text{令 } n = N-1-k)$

故，对$T(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} s[n]x[n]$进行裁决，被称为匹配滤波器。裁决阈值由NP方法或贝叶斯方法确定。

使用匹配滤波器进行滤波之后采样检测的系统称为相关器（correlator）或复现相关器（replica-correlator），因为它将接收数据与信号的 “复现版本” 做相关运算。如下图所示：接收信号(x[n])与已知信号(s[n])相乘后累加，得到统计量(T(\mathbf{x}))，再与阈值(\gamma’)比较，判决(\mathcal{H}_1)或(\mathcal{H}_0)。

这个运算检验统计量的过程可被理解成一个FIR滤波器。

匹配滤波器的例子

匹配滤波器检测例题1

假设已知信号(s[n] = A)（(A > 0)，是一个已知的直流电平）；噪声(w[n])是白高斯噪声（WGN），方差为(\sigma^2)；

根据我们前面的推导，检验统计量(T(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} s[n]x[n])：

$T(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} A \cdot x[n] = A \sum_{n=0}^{N-1} x[n]$

我们可以对(T(\mathbf{x}))做线性缩放（不改变判决结果，仅调整阈值），得到等价检测器：

$T'(\mathbf{x}) = \frac{1}{NA} T(\mathbf{x}) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] = \bar{x}>\gamma''$

(注意，如果这个地方A<0，在线性缩放时需要变号！)

匹配滤波器检测例题2

假设已知信号(s[n] = r^n)，其中(0 < r < 1)（这是一个随n增大而衰减的指数信号，比如模拟系统中的阻尼振荡、信号传输中的衰减等场景）；噪声(w[n])是白高斯噪声（WGN），方差为(\sigma^2)；

根据匹配滤波器的检验统计量(T(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} s[n]x[n])：

$T(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot r^n$

这个统计量的物理意义是 “接收信号(x[n])与衰减指数信号(r^n)的加权和”，权重就是已知的衰减指数(r^n)。由于(0 < r < 1)，(r^n)是随n增大而衰减的序列（即n越小，(r^n)越大；n越大，(r^n)越小）。因此，检测统计量(T(\mathbf{x}))对 “早期样本（n小的时刻）” 赋予了更大的权重，对 “晚期样本（n大的时刻）” 赋予了更小的权重。

匹配滤波器的性能分析

匹配滤波器的信噪比

我们关注 FIR 滤波器在(n=N-1)时刻的输出信噪比（SNR）:

$\eta = \frac{E^2\left(y[N-1]; \mathcal{H}_1\right)}{\text{var}\left(y[N-1]; \mathcal{H}_1\right)} = \frac{\left( \sum_{k=0}^{N-1} h[N-1-k]s[k] \right)^2}{E\left[ \left( \sum_{k=0}^{N-1} h[N-1-k]w[k] \right)^2 \right]}$

由于噪声是0均值的，因此期望的平方就是信号的能量；而方差就是噪声的能量。

我们接着将信噪比转化为向量形式

信号向量：(\mathbf{s} = \left[ s[0], s[1], \dots, s[N-1] \right]^T)
噪声向量：(\mathbf{w} = \left[ w[0], w[1], \dots, w[N-1] \right]^T)
滤波器冲激响应向量（翻转后）：(\mathbf{h} = \left[ h[N-1], h[N-2], \dots, h[0] \right]^T)

信号分量的期望平方：(E^2\left(y[N-1] \mid \mathcal{H}_1\right) = \left( \mathbf{h}^T \mathbf{s} \right)^2)（因为(\sum_{k=0}^{N-1} h[N-1-k]s[k] = \mathbf{h}^T \mathbf{s})）；

噪声分量的方差：(\text{var}\left(y[N-1] ; \mathcal{H}_1\right) = E\left[ \left( \mathbf{h}^T \mathbf{w} \right)^2 \right] = \mathbf{h}^T E\left( \mathbf{w}\mathbf{w}^T \right) \mathbf{h})。由于白高斯噪声的协方差矩阵(E\left( \mathbf{w}\mathbf{w}^T \right) = \sigma^2 \mathbf{I})（(\mathbf{I})是单位矩阵），因此方差可化简为：(\text{var}\left(y[N-1] ; \mathcal{H}_1\right) = \mathbf{h}^T \left( \sigma^2 \mathbf{I} \right) \mathbf{h} = \sigma^2 \mathbf{h}^T \mathbf{h})

$\eta$的向量形式为：

$\eta = \frac{1}{\sigma^2}\frac{\left( \mathbf{h}^T \mathbf{s} \right)^2}{ \mathbf{h}^T \mathbf{h}}$

柯西 - 施瓦茨不等式指出(向量形式)：对任意两个向量(\mathbf{a})和(\mathbf{b})，有(\left( \mathbf{a}^T \mathbf{b} \right)^2 \leq \left( \mathbf{a}^T \mathbf{a} \right) \left( \mathbf{b}^T \mathbf{b} \right))

当且仅当(\mathbf{a} = c\mathbf{b})（c为常数）时，等号成立。

柯西 - 施瓦茨不等式令(\mathbf{a} = \mathbf{h})，(\mathbf{b} = \mathbf{s})，代入信噪比公式：

$\eta = \frac{\left( \mathbf{h}^T \mathbf{s} \right)^2}{\sigma^2 \mathbf{h}^T \mathbf{h}} \leq \frac{\left( \mathbf{h}^T \mathbf{h} \right) \left( \mathbf{s}^T \mathbf{s} \right)}{\sigma^2 \mathbf{h}^T \mathbf{h}} = \frac{\mathbf{s}^T \mathbf{s}}{\sigma^2}$

代入等号成立条件，当且仅当(\mathbf{h} = c\mathbf{s})（c为常数，这里取1）时，信噪比达到最大值(\frac{\mathbf{s}^T \mathbf{s}}{\sigma^2})

$\eta_{\text{max}} = \frac{\mathbf{s}^T \mathbf{s}}{\sigma^2} = \frac{\sum_{n=0}^{N-1} s^2[n]}{\sigma^2} = \frac{\text{Singal Energy}}{\sigma^2}$

性能结论：

对于已知确定性信号 + 白高斯噪声场景：
- 匹配滤波器是奈曼 - 皮尔逊（NP）准则下的最优检测器（能在虚警概率恒定下最大化检测概率）；
- 是最大化输出信噪比的最优滤波器。
对于非高斯噪声场景：
- 不再是 NP 准则下的最优检测器；
- 但仍然能最大化输出信噪比（这一特性具有通用性）

匹配滤波器的性能

在这一节中，我们假设现在的匹配滤波器使用NP方法，我们将分析在给定$P_{FA}$下的$P_D$。

检测统计量仍为(T(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} s[n]x[n])，判决规则为(T(\mathbf{x}) > \gamma’)时判决(\mathcal{H}_1)。由于假设(\mathcal{H}_0)和(\mathcal{H}_1)下数据都是高斯的，且(T(\mathbf{x}))是高斯随机变量的线性组合，因此(T(\mathbf{x}))也服从高斯分布。

先来看检验统计量$T(x)$的均值和方差：

在(\mathcal{H}_0)下：(x[n] = w[n])（白高斯噪声，均值为 0），因此均值为：

$E(T; \mathcal{H}_0) = E\left( \sum_{n=0}^{N-1} s[n]w[n] \right) = \sum_{n=0}^{N-1} s[n] \cdot E(w[n]) = 0$

在(\mathcal{H}_1)下：(x[n] = s[n] + w[n])，因此均值为：

$E(T; \mathcal{H}_1) = E\left( \sum_{n=0}^{N-1} s[n](s[n] + w[n]) \right) = \sum_{n=0}^{N-1} s^2[n] + \sum_{n=0}^{N-1} s[n] \cdot E(w[n]) = \sum_{n=0}^{N-1} s^2[n] = \mathcal{E} \quad (\text{信号能量})$

在(\mathcal{H}_0)下：(x[n] = w[n])，方差为：

$\text{var}(T; \mathcal{H}_0) = \text{var}\left( \sum_{n=0}^{N-1} s[n]w[n] \right)= \sum_{n=0}^{N-1} s^2[n] \cdot \text{var}(w[n])= \sigma^2 \sum_{n=0}^{N-1} s^2[n] = \sigma^2 \mathcal{E}$

（上一步中求和和方差能交换顺序是因为各白噪声独立）

在(\mathcal{H}_1)下：(T(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} sn = \mathcal{E} + \sum_{n=0}^{N-1} s[n]w[n])，因此方差与(\mathcal{H}_0)下相同：

$\text{var}(T; \mathcal{H}_1) = \sigma^2 \mathcal{E}$

因此$T(x)$的分布为：

$T \sim \begin{cases} \mathcal{N}(0, \sigma^2 \mathcal{E}) & \text{under } \mathcal{H}_0 \\ \mathcal{N}(\mathcal{E}, \sigma^2 \mathcal{E}) & \text{under } \mathcal{H}_1 \end{cases}$

下图展示了一个信号能量为1时的$T(x)$PDF：

转换为标准检验统计量$T’(x)$的均值和方差：

通过标准化（除以标准差 (\sqrt{\sigma^2 \mathcal{E}})），可以将$T(x)$转化为标准正态分布（(\mathcal{N}(0, 1))）。即：$T’(x)=T(x)/\sqrt{\sigma^2 \mathcal{E}}$

$T' \sim \begin{cases} \mathcal{N}(0, 1) & \text{under } \mathcal{H}_0 \\ \mathcal{N}(\sqrt{\mathcal{E}/\sigma^2}, 1) & \text{under } \mathcal{H}_1 \end{cases}$

标准正态分布的性质（如Q函数、分位数表）是工程和统计学中非常成熟的工具，标准化后能大幅简化虚警概率、检测概率的计算与分析。同时标准化后，(\mathcal{H}_1) 下 (T’) 的均值为 (\sqrt{\mathcal{E}/\sigma^2})，这正是能量噪声比（(\mathcal{E}/\sigma^2)）的平方根。

进一步推导$P_{FA}$和$P_D$

$P_{FA} = P\left( T > \gamma' ; \mathcal{H}_0 \right) = Q\left( \frac{\gamma'}{\sqrt{\sigma^2 \mathcal{E}}} \right)$ $P_D = P\left( T > \gamma' ; \mathcal{H}_1 \right) = Q\left( \frac{\gamma' - \mathcal{E}}{\sqrt{\sigma^2 \mathcal{E}}} \right)$

由(P_{FA})的表达式解出(\gamma’)：(\gamma’ = \sqrt{\mathcal{E} \sigma^2} \cdot Q^{-1}(P_{FA}))

将(\gamma’)代入(P_D)的表达式，化简得：

$P_D = Q\left( Q^{-1}(P_{FA}) - \sqrt{\frac{\mathcal{E}}{\sigma^2}} \right)$

由(P_D = Q\left( Q^{-1}(P_{FA}) - \sqrt{\mathcal{E}/\sigma^2} \right))可知：能量噪声比（ENR）(\mathcal{E}/\sigma^2)越大，(Q(\cdot))的参数越小，(P_D)越大

对于固定的 ENR，(P_{FA})越大（对虚警的容忍度越高），(P_D)也越大。

对于白高斯噪声场景，信号的形状不影响检测性能—— 只要信号能量(\mathcal{E})相同，无论信号是直流、衰减指数还是其他形状，匹配滤波器的检测性能是一致的。但对于色噪声（colored noise，即噪声不是白的，各时刻相关），信号的形状会变得重要（后续章节会涉及针对色噪声的最优检测）

引入偏转系数来量化性能

偏转系数是 “均值偏移量的平方与方差的比值”，用于刻画两个高斯分布（(\mathcal{H}_0)和(\mathcal{H}_1)下统计量的分布）的分离程度。

偏转系数(d^2)的公式为：

$d^2 = \frac{\left( E(T; \mathcal{H}_1) - E(T; \mathcal{H}_0) \right)^2}{\text{var}(T; \mathcal{H}_0)}$

代入匹配滤波器的均值和方差（(E(T; \mathcal{H}_0)=0)，(E(T; \mathcal{H}_1)=\mathcal{E})，(\text{var}(T; \mathcal{H}_0)=\sigma^2 \mathcal{E})），可得：

$d^2 = \frac{(\mathcal{E} - 0)^2}{\sigma^2 \mathcal{E}} = \frac{\mathcal{E}}{\sigma^2}$

这恰好是匹配滤波器输出端的信噪比（SNR）

广义的匹配滤波器（Generalized Matched Filter）

经典匹配滤波器是加性白高斯噪声（AWGN）下已知信号检测的最优方法。但实际场景中，噪声可能不是 “白” 的（即噪声在不同时刻的相关性不可忽略），因此需要推广到相关噪声场景，这就是广义匹配滤波器的动机。

泛化过程

信号模型

假设噪声 (\mathbf{w} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{C}))，其中 (\mathbf{C}) 是噪声的协方差矩阵（刻画噪声的相关性）。

若噪声是宽平稳（WSS）的，则 (\mathbf{C}) 是对称 Toeplitz 矩阵。因为宽平稳噪声的自相关函数仅与时间差有关，即 (\text{cov}(w[m], w[n]) = E(w[m]w[n]) = r_{ww}[m-n])，这使得协方差矩阵的元素 ([\mathbf{C}]_{mn} = r_{ww}[m-n])。

Toeplitz 矩阵是一种沿每条对角线元素均相等的矩阵，其元素仅与行和列的索引差有关。

对于一个 (N \times N) 的矩阵 (\mathbf{A})，若满足 (A[i,j] = a_{i-j})（其中 (a_k) 是一个序列，(k = i-j)），则 (\mathbf{A}) 是 Toeplitz 矩阵。

例如一个 3×3 的 Toeplitz 矩阵形式如下：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_0 & a_{-1} & a_{-2} \\ a_1 & a_0 & a_{-1} \\ a_2 & a_1 & a_0 \end{bmatrix}$

可以看到，每条对角线上的元素（如主对角线 (a_0, a_0, a_0)，次对角线 (a_1, a_1) 等）都相等。

二元假设检验

考虑二元假设检验：

(\mathcal{H}_0)（无信号）：观测 (\mathbf{x} = \mathbf{w})
(\mathcal{H}_1)（有信号）：观测 (\mathbf{x} = \mathbf{s} + \mathbf{w})（(\mathbf{s}) 是已知信号）

根据多元高斯分布的概率密度函数，可得：

(\mathcal{H}_0) 下的 PDF：$p(\mathbf{x}; \mathcal{H}_0) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}|\mathbf{C}|^{\frac{1}{2}}} \exp\left[ -\frac{1}{2} \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{x} \right]$

(\mathcal{H}_1) 下的 PDF：$p(\mathbf{x}; \mathcal{H}_1) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}|\mathbf{C}|^{\frac{1}{2}}} \exp\left[ -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{s})^T \mathbf{C}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{s}) \right]$

推导化简似然比

似然比

$L(\mathbf{x}) = \frac{p(\mathbf{x}; \mathcal{H}_1)}{p(\mathbf{x}; \mathcal{H}_0)}=\frac{ \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}|\mathbf{C}|^{\frac{1}{2}}} \exp\left[ -\frac{1}{2} \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{x} \right]}{\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}|\mathbf{C}|^{\frac{1}{2}}} \exp\left[ -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{s})^T \mathbf{C}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{s}) \right]}$ $=\exp\left[ (-\frac{1}{2} \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{x})- (-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{s})^T \mathbf{C}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{s})\right]$

对数似然比：

$\begin{align*} l(\mathbf{x}) &= -\frac{1}{2} \left[ (\mathbf{x} - \mathbf{s})^T \mathbf{C}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{s}) - \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{x} \right] \\ &= -\frac{1}{2} \left[ \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{x} - 2\mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} + \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} - \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{x} \right] \\ &= \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} - \frac{1}{2} \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \end{align*}$

构建统计检验量

注意到 (\frac{1}{2} \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}) 是与观测 (\mathbf{x}) 无关的常数，因此可以吸收到新的阈值 (\gamma’) 中。最终检验统计量为：

$T(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} > \gamma'$

这个检测器就称为广义匹配滤波器

一个例子理解预白化操作

1. 检验统计量

假设噪声序列 (w[n] \sim \mathcal{N}(0, \sigma_n^2))，且不同时刻的噪声不相关（即协方差矩阵是对角矩阵）。此时：

噪声协方差矩阵 (\mathbf{C} = \text{diag}(\sigma_0^2, \sigma_1^2, \dots, \sigma_{N-1}^2))（对角线上的元素是各时刻噪声的方差）。
协方差矩阵的逆 (\mathbf{C}^{-1} = \text{diag}(1/\sigma_0^2, 1/\sigma_1^2, \dots, 1/\sigma_{N-1}^2))（对角线上的元素是各方差的倒数）。

根据广义匹配滤波器的检验统计量 (T(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s})，将 (\mathbf{x} = [x[0], x[1], \dots, x[N-1]]^T)、(\mathbf{s} = [s[0], s[1], \dots, s[N-1]]^T) 代入：

1.计算(\mathbf{C}^{-1} \mathbf{s})（(N \times N)矩阵乘以(N \times 1)向量，结果为(N \times 1)向量）

根据矩阵与向量的乘法规则：第i行元素与(\mathbf{s})的内积为结果向量的第i个元素，即：

$\mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} = \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^{N-1} c^{-1}_{0k} \cdot s[k] \\ \sum_{k=0}^{N-1} c^{-1}_{1k} \cdot s[k] \\ \vdots \\ \sum_{k=0}^{N-1} c^{-1}_{(N-1)k} \cdot s[k] \end{bmatrix}$

记该结果为$N \times 1$向量(\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y[0] \\ y[1] \\ \vdots \\ y[N-1] \end{bmatrix})，其中(y[i] = \sum_{k=0}^{N-1} c^{-1}_{ik} \cdot s[k])

2.计算(\mathbf{x}^T \mathbf{y})（(1 \times N)行向量乘以(N \times 1)列向量，结果为标量）

$\mathbf{x}^T \mathbf{y} = \sum_{i=0}^{N-1} x[i] \cdot \left( \sum_{k=0}^{N-1} c^{-1}_{ik} \cdot s[k] \right)=T(\mathbf{x}) = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{i=0}^{N-1} x[i] \cdot c^{-1}_{ik} \cdot s[k]$

由于(\mathbf{C}^{-1})是对角矩阵，即(c^{-1}_{ik} = 0)（当(i \neq k)时），故只有$k=i$的项目被保留。且(c^{-1}_{ii} = 1/\sigma_i^2)（(\sigma_i^2)是第i时刻的噪声方差）。此时展开式简化为：

$T(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot \frac{1}{\sigma_n^2} \cdot s[n]$

物理意义：若某时刻 n 的噪声方差 (\sigma_n^2) 很小（即噪声波动小、信噪比较高），则权重 (1/\sigma_n^2) 会很大，该时刻的观测 (x[n]) 对检验统计量的贡献会被 “加重”；反之，方差大的时刻贡献会被 “减轻”。

2. 理解预白化操作

将检验统计量进一步展开，代入信号存在时的 (x[n] = w[n] + s[n])）：

$\begin{align*} T(\mathbf{x}) &= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{(w[n] + s[n]) s[n]}{\sigma_n^2} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} \left( \frac{w[n]}{\sigma_n} + \frac{s[n]}{\sigma_n} \right) \frac{s[n]}{\sigma_n} \end{align*}$

令 (w’[n] = \frac{w[n]}{\sigma_n})，则 (w’[n] \sim \mathcal{N}(0, 1))，则褪去了各时刻不同的方差，变回了白噪声；同时信号被变换为 (s’[n] = \frac{s[n]}{\sigma_n})。

这一过程称为预白化—— 将 “有色” 的非白噪声（这里是 “非相关但方差不等” 的噪声）转化为白噪声（方差为 1 的独立高斯噪声）。此时，检验统计量可理解为 “预白化后的观测 (x’[n] = \frac{x[n]}{\sigma_n}) 与预白化后的信号 (s’[n]) 做相关运算”。

3. C为任意协方差矩阵时的预白化

对于任意正定对称的协方差矩阵 (\mathbf{C})（正定保证可逆，对称是宽平稳噪声或一般相关噪声的常见性质），可以分解出一个预白化矩阵 (\mathbf{D})，满足 (\mathbf{C}^{-1} = \mathbf{D}^T \mathbf{D})（(\mathbf{D}) 是非奇异矩阵）。

对观测 (\mathbf{x}) 做变换：(\mathbf{x}’ = \mathbf{D} \mathbf{x})
对噪声 (\mathbf{w}) 做变换：(\mathbf{w}’ = \mathbf{D} \mathbf{w})
对信号 (\mathbf{s}) 做变换：(\mathbf{s}’ = \mathbf{D} \mathbf{s})

验证一下对噪声的预白化效果：

$\begin{align*} \mathbf{C}_{w'} &= E(\mathbf{w}' \mathbf{w}'^T) = E(\mathbf{D} \mathbf{w} \mathbf{w}^T \mathbf{D}^T) \\ &= \mathbf{D} E(\mathbf{w} \mathbf{w}^T) \mathbf{D}^T = \mathbf{D} \mathbf{C} \mathbf{D}^T \\ &= \mathbf{D} (\mathbf{D}^T \mathbf{D})^{-1} \mathbf{D}^T = \mathbf{I} \end{align*}$

可见 (\mathbf{w}’) 是白噪声（协方差矩阵为单位矩阵 (\mathbf{I})），即 (\mathbf{D}) 实现了噪声的 “预白化”。

将 (\mathbf{C}^{-1} = \mathbf{D}^T \mathbf{D}) 代入广义匹配滤波器的检验统计量：

$T(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} = \mathbf{x}^T \mathbf{D}^T \mathbf{D} \mathbf{s} = (\mathbf{D} \mathbf{x})^T (\mathbf{D} \mathbf{s}) = \mathbf{x}'^T \mathbf{s}'$

这说明：广义匹配滤波器的本质是先通过预白化矩阵 (\mathbf{D}) 将有色噪声转化为白噪声，同时将信号变换为 (\mathbf{s}’)；然后对预白化后的观测 (\mathbf{x}’) 和变换后的信号 (\mathbf{s}’) 做相关运算，最后与阈值比较完成检测。

广义匹配滤波器的性能

广义匹配滤波器的检验统计量 (T(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}) 是对观测 (\mathbf{x}) 的线性变换，因此在高斯噪声假设下，(T(\mathbf{x})) 服从高斯分布。我们需要分别推导其在两种假设下的均值和方差。

1. 在$H_0$假设下

均值：(因为$E(\mathbf{w}) = \mathbf{0}$)

$E(T; \mathcal{H}_0) = E(\mathbf{w}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}) = \mathbf{s}^T E(\mathbf{w}) \mathbf{C}^{-1} = 0$

方差：

$\begin{align*} \text{var}(T; \mathcal{H}_0) &= E\left[ (\mathbf{w}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s})^2 \right] \\ &= E\left( \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{w} \mathbf{w}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \right) \quad (\text{转置性质：} (\mathbf{w}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s})^2 = \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{w} \mathbf{w}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}) \\ &= \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} E(\mathbf{w} \mathbf{w}^T) \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \\ &= \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{C} \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \quad (\text{因} \, E(\mathbf{w} \mathbf{w}^T) = \mathbf{C}) \\ &= \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \end{align*}$

2. 在假设(\mathcal{H}_1)下（有信号，(\mathbf{x} = \mathbf{s} + \mathbf{w})）

均值：

$E(T; \mathcal{H}_1) = E\left[ (\mathbf{s} + \mathbf{w})^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \right] = \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} + E(\mathbf{w}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}) = \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}$

方差：

$\begin{align*} \text{var}(T; \mathcal{H}_1) &= E\left[ \left( \mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} - E(\mathbf{x}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}) \right)^2 \right] \\ &= E\left[ \left( (\mathbf{x} - E(\mathbf{x}))^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \right)^2 \right] \\ &= E\left[ \left( \mathbf{w}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \right)^2 \right] = \text{var}(T; \mathcal{H}_0) = \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \end{align*}$

综上，检验统计量 (T(\mathbf{x})) 的分布为：

$T \sim \begin{cases} \mathcal{N}\left( 0, \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \right) & \text{under } \mathcal{H}_0 \\ \mathcal{N}\left( \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}, \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s} \right) & \text{under } \mathcal{H}_1 \end{cases}$

那么，虚警概率是(\mathcal{H}_0) 下 (T(\mathbf{x}) > \gamma’) 的概率，即：

$P_{FA} = P(T > \gamma'; \mathcal{H}_0) = Q\left( \frac{\gamma' - 0}{\sqrt{\mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}}} \right)$

检测概率是 (\mathcal{H}_1) 下 (T(\mathbf{x}) > \gamma’) 的概率：

$P_D = P(T > \gamma'; \mathcal{H}_1) = Q\left( \frac{\gamma' - \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}}{\sqrt{\mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}}} \right)$

令 (d^2 = \mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s})（称为偏移系数，Deflection Coefficient），由 (P_{FA} = Q\left( \frac{\gamma’}{\sqrt{d^2}} \right)) 可得：

$\gamma' = \sqrt{d^2} \cdot Q^{-1}(P_{FA})$

将其代入 (P_D) 的表达式：

$P_D = Q\left( Q^{-1}(P_{FA}) - \sqrt{d^2} \right) = Q\left( Q^{-1}(P_{FA}) - \sqrt{\mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}} \right)$

从 (P_D) 的表达式可知，(P_D) 随 (\mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}) 的增大而增大。这一结论与 WGN 场景有本质区别：

在WGN 场景中，检测性能仅由 “信号能量 / 噪声方差” 决定，信号形状不影响性能（只要能量固定）。
在相关噪声场景中，检测性能由 (\mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s}) 决定，因此可以通过 “信号整形” 来最大化 (\mathbf{s}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{s})，从而提升检测概率 (P_D)。

多进制信号检测

匹配滤波器常用于 “是否存在某一已知信号” 的检测（如雷达、声呐）；但在通信中，需解决 “多个已知信号中哪一个存在” 的分类问题。即，某一码元是M进制调制的，要匹配出这个现在的信号到代表什么码字。

最小距离接收机

推导

首先我们还是从M=2看起，方便后续拓展到多假设检验。

首先假设信号有$s_0[n]$，$s_1[n]$两个，(w[n])是方差为(\sigma^2)的白高斯噪声。接收到的信号有：

$\begin{cases} \mathcal{H}_0: & x[n] = s_0[n] + w[n] \\ \mathcal{H}_1: & x[n] = s_1[n] + w[n] \end{cases} \quad (n=0,1,\dots,N-1)$

如果我们假设$s_0[n]$和$s_1[n]$的出现概率（即，先验概率）相等，则比较阈值$\gamma=\frac{p(\mathbf{x}|H_1)}{p(\mathbf{x}|H_0}=1$

再假设贝叶斯成本（Cost），错误都是1，正确都是0。那么Part 2-2章节的推导，此时贝叶斯检验会退化为最大似然检验，比较的就是谁的似然函数最大。

似然函数是：

$p(\mathbf{x} \mid \mathcal{H}_i) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{\frac{N}{2}}} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1} (x[n]-s_i[n])^2 \right)$

通过上式不难看出，真正决定似然函数大小的，是$\sum_{n=0}^{N-1} (x[n]-s_i[n])^2 $这一坨。这一坨是平方欧氏距离(D_i^2 = \sum_{n=0}^{N-1} (x[n]-s_i[n])^2)。$D_i^2$的数值越大会使得$e$的负指数越大，故让似然越小。

则似然比之间的比较可以转化为距离之间的比较，距离最小的那个就是似然最大的。因此，判决准则为：选择使(D_i^2)最小的假设(\mathcal{H}_i)，这类检测器称为最小距离接收机。

最小距离的进一步化简

我们还可以将$D_i^2$展开：

$D_i^2 = \sum_{n=0}^{N-1} x^2[n] - 2\sum_{n=0}^{N-1} x[n]s_i[n] + \sum_{n=0}^{N-1} s_i^2[n]$

由于(\sum_{n=0}^{N-1} x^2[n])对任意$H_i$是相同的，最小化(D_i^2)等价于寻找最大的

$2\sum_{n=0}^{N-1} x[n]s_i[n] + \sum_{n=0}^{N-1} s_i^2[n]$

可以把这一项除个2，不影响寻找最大，因此新的检验统计量就是：

$T_i(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]s_i[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{N-1} s_i^2[n] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]s_i[n] - \frac{1}{2}\mathcal{E}_i$

其中(\mathcal{E}_i = \sum_{n=0}^{N-1} s_i^2[n])是信号(s_i[n])的能量。

检测器实现

根据上面的推导，我们就可以使用魔改版本的匹配滤波器实现检验。如下图：

最小距离接收机的性能

由于我们的最小距离接收机是使用贝叶斯方法，简化风险和先验概率后得到的，因此这里需要分析错误概率$P_e$来衡量性能。

$P_e = P(\mathcal{H}_1 \mid \mathcal{H}_0)P(\mathcal{H}_0) + P(\mathcal{H}_0 \mid \mathcal{H}_1)P(\mathcal{H}_1)$

由于简化了先验概率，$P(H_0)=P(H_1)=\frac{1}{2}$，$P_e$有：

$P_e = \frac{1}{2} \left[ P(\mathcal{H}_1 \mid \mathcal{H}_0) + P(\mathcal{H}_0 \mid \mathcal{H}_1) \right]$ $= \frac{1}{2} \left[ \Pr\{T_1(\mathbf{x}) > T_0(\mathbf{x}) \mid \mathcal{H}_0\} + \Pr\{T_0(\mathbf{x}) > T_1(\mathbf{x}) \mid \mathcal{H}_1\} \right]$ $= \frac{1}{2} \left[ \Pr\{T_1(\mathbf{x}) - T_0(\mathbf{x}) > 0 \mid \mathcal{H}_0\} + \Pr\{T_0(\mathbf{x}) - T_1(\mathbf{x}) > 0 \mid \mathcal{H}_1\} \right]$

这一次，我们直接用于判定的统计检验量是$T(\mathbf{x}) = T_1(\mathbf{x}) - T_0(\mathbf{x})$，判决阈值在0。代入(T_i(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]s_i[n] - \frac{1}{2}\mathcal{E}_i)

$T(\mathbf{x}) = \left( \sum_{n=0}^{N-1} x[n]s_1[n] - \frac{1}{2}\mathcal{E}_1 \right) - \left( \sum_{n=0}^{N-1} x[n]s_0[n] - \frac{1}{2}\mathcal{E}_0 \right)$ $= \sum_{n=0}^{N-1} x[n](s_1[n] - s_0[n]) - \frac{1}{2}(\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_0)$

由于(T(\mathbf{x}))是(x[n])的线性组合，而(x[n])在(\mathcal{H}_0)和(\mathcal{H}_1)下均服从高斯分布，因此(T(\mathbf{x}))在两个假设下也服从高斯分布。我们去求$T(x)$的高斯分布参数（即，均值和方差），就可以用高斯尾数函数求得$P_e$

1. 分别求得各假设下的均值

在(\mathcal{H}_0)下：(x[n] = s_0[n] + w[n])（(w[n])是白高斯噪声，均值为 0），因此：

$\begin{align*} E(T \mid \mathcal{H}_0) &= \sum_{n=0}^{N-1} E(x[n] \mid \mathcal{H}_0)(s_1[n] - s_0[n]) - \frac{1}{2}(\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_0) \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} s_0[n](s_1[n] - s_0[n]) - \frac{1}{2}(\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_0) \\ &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{N-1} \left( 2s_0[n]s_1[n] - 2s_0^2[n] - s_1^2[n] + s_0^2[n] \right) \\ &= -\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{N-1} (s_1[n] - s_0[n])^2 \\ &= -\frac{1}{2}\|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2 \end{align*}$

其中(|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0|^2 = \sum_{n=0}^{N-1} (s_1[n] - s_0[n])^2)是信号向量(\mathbf{s}_1)和(\mathbf{s}_0)的平方欧氏距离。

在(\mathcal{H}_1)下：(x[n] = s_1[n] + w[n])，同理可得(E(T \mid \mathcal{H}_1) = \frac{1}{2}|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0|^2 = -E(T \mid \mathcal{H}_0))

2. 再求得各假设下的方差

由于(w[n])是白高斯噪声（方差(\sigma^2)），在(\mathcal{H}_0)或(\mathcal{H}_1)下，(x[n])的噪声分量方差均为(\sigma^2)。因此，(T(\mathbf{x}))的方差为：

$\begin{align*} \text{var}(T \mid \mathcal{H}_0) &= \text{var}\left( \sum_{n=0}^{N-1} x[n](s_1[n] - s_0[n]) \mid \mathcal{H}_0 \right) \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} (s_1[n] - s_0[n])^2 \cdot \text{var}(x[n] \mid \mathcal{H}_0) \\ &= \sigma^2 \sum_{n=0}^{N-1} (s_1[n] - s_0[n])^2 \\ &= \sigma^2\|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2 \end{align*}$

同理，(\text{var}(T \mid \mathcal{H}_1) = \sigma^2|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0|^2 = \text{var}(T \mid \mathcal{H}_0))

那么检验统计量的分布为：

$T \sim \begin{cases} \mathcal{N}\left( -\frac{1}{2}\|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2, \sigma^2\|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2 \right) & \text{under } \mathcal{H}_0 \\ \mathcal{N}\left( \frac{1}{2}\|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2, \sigma^2\|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2 \right) & \text{under } \mathcal{H}_1 \end{cases}$

3. 最终计算$P_e$

按照前面的推导：

$P_e=\frac{1}{2} \left[ \Pr\{T(\mathbf{x}) > 0 \mid \mathcal{H}_0\} + \Pr\{T(\mathbf{x})< 0 \mid \mathcal{H}_1\} \right]$

由于其具有对称性，$P_e$可以简化为

$\begin{align*} P_e &= \Pr\{T(\mathbf{x}) > 0 \mid \mathcal{H}_0\}= Q\left( \frac{0 - E(T \mid \mathcal{H}_0)}{\sqrt{\text{var}(T \mid \mathcal{H}_0)}} \right) \\ &= Q\left( \frac{\frac{1}{2}\|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2}{\sqrt{\sigma^2\|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2}} \right) = Q\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2}{\sigma^2}} \right) \end{align*}$

最后可以观测到：(|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0|^2)越大（信号区分度越高），(P_e)越小，检测性能越好。

4. 定义平均能量，推出信号相关系数，进一步观察

如果我们定义平均信号能量(\bar{\mathcal{E}} = \frac{1}{2}(\mathcal{E}_0 + \mathcal{E}_1))，将平方欧氏距离展开：

$\begin{align*} \|\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_0\|^2 &= \mathbf{s}_1^T\mathbf{s}_1 - 2\mathbf{s}_1^T\mathbf{s}_0 + \mathbf{s}_0^T\mathbf{s}_0 \\ &= 2\bar{\mathcal{E}} - 2\mathbf{s}_1^T\mathbf{s}_0 \\ &= 2\bar{\mathcal{E}}(1 - \rho_s) \end{align*}$

其中(\rho_s = \frac{\mathbf{s}_1^T\mathbf{s}_0}{\frac{1}{2}(\mathbf{s}_1^T\mathbf{s}_1 + \mathbf{s}_0^T\mathbf{s}_0)})是信号相关系数（(|\rho_s| \leq 1)）。

代入错误概率公式，得：(P_e = Q\left( \sqrt{\frac{\bar{\mathcal{E}}(1 - \rho_s)}{2\sigma^2}} \right))

性能优化：在平均能量(\bar{\mathcal{E}})受限的情况下，最小化(P_e)需最大化((1 - \rho_s))，即令(\rho_s = -1)（信号完全反相关）。