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引入——为什么有拉普拉斯变换

傅里叶变换将时域信号转化到了频域，傅里叶逆变换又实现了频域到时域的过程。根据傅里叶变换的性质，我们发现，使用傅里叶来处理微分方程时，可以消除其中的微分项（时域微分性质）。那如果我们将一个信号从时域变换到频域，在频域处理完后再逆变换回去，那便可以跳过微分项的计算，从而简化计算过程。

然而，要对一串信号作用傅里叶变换，它就必须要遵循狄利克雷收敛条件。这个条件不利于我们处理一些信号。为了使得更多的信号绝对可积，在傅里叶变换的变换对的基础上给信号施加一个衰减因子，又不影响其可以跳过微分的性质，那么我们便可以更轻易地处理系统函数了和求解微分方程。因此，产生了拉普拉斯变换

因此，我们定义了一个$e^{-\sigma t}$ 做为衰减因子，作用于傅里叶变换的基础上，成为拉氏变换。

定义和性质

定义

双边拉普拉斯变换

拉普拉斯变换对的定义如下（双边）

正变换

$F(s)=L[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt, s=\sigma+j\omega$

逆变换

$f(t)=L^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma -j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s)e^{st}ds$

正如引入中所介绍，傅里叶变换的定义式是：

$F(\omega)=F[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$

如果将傅里叶变换定义中的$e^{-j\omega t}$ 乘上衰减因子$e^{-\sigma t}$，它就变成了$e^{-j\omega t}\times e^{-\sigma t}=e^{-(j\omega+\sigma)t}$，记复数$j\omega + \sigma =s$，就可以写成$e^{-st}$，这就变成了拉普拉斯变换

这个衰减因子的 $\sigma$ 是做为常数存在的，也就是可以通过控制 $\sigma$ 来控制衰减的大小。

单边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换中，把 $t<0$ 的范围也算进去了。在现实中，可以将信号开始产生的时刻记为 $t = 0$, 那么$t<0$时没有信号因此$f(t)= 0, t<0$。因此，只需要对$[0, +\infty]$ 区间内的信号进行处理即可。这也就成了单边拉普拉斯变换。(这个$0^-$表示从左侧无限趋近于0开始，从工程的角度解释，就是包含了电感电容等储能元件在 t=0 时的初始条件)

正变换

$F(s)=L[f(t)]=\int_{0^-}^{\infty}f(t)e^{-st}dt, s=\sigma+j\omega$

（逆变换同双边变换，因为逆变换的积分是作用于 s 上的，所以不受 t 的影响）

在分析实际的系统时，一般都使用单边拉普拉斯变换，因为实际系统具有信号开始产生的 t=0 时刻，t<0 时信号为0，下方所有的讨论也都是适用于单边拉普拉斯变换的

收敛域（Range of Convergence ROC）

纵然乘上了个$e^{-\sigma t}$，也只是增加了$f(t)$收敛的可能性，仍不能保证其收敛。因此拉普拉斯变换存在收敛范围，仅在收敛范围内时，$F(s)$ 存在

那么对于一个施加了衰减因素的信号 $f(t)e^{-\sigma t}$, 其收敛就是当 $t \rightarrow \infty$ 时，$\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)e^{-\sigma t}=0$

假设存在一个$\sigma_0$, 当$\sigma > \sigma_0$时（也就是衰减速度比$\sigma_0$控制的衰减速度更大时），$\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)e^{-\sigma t}=0$ ； $\sigma > \sigma_0$这个区间便被称为拉普拉斯变换的收敛域，记作$Rs[s] = \sigma > \sigma_0$

举个例子

$f(t)=e^{-2t}, t>0$ 求收敛域

$f(t)e^{-\sigma t}= e^{-2t}e^{-\sigma t}=e^{-(2+\sigma)t}$ $\lim_{t\rightarrow\infty}e^{-(2+\sigma)t}=0$

故$(2+\sigma) > 0$，因此拉氏变换敛域是$\sigma > -2$

典型信号的拉普拉斯变换

下面这些都是五星级的，拉普拉斯变换的计算通常使用变换对，下面这些都是常用的变换对

单位阶跃信号（step signal）

信号$f(t) = u(t)$

因为单边拉式变换从0开始，单位阶跃信号 u(t) 在 $[0,+\infty]$ 范围内都是1，所以下式直接带1

$\int_{0}^{\infty}1\times e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st}\bigg|_{0}^{\infty} =\frac{1}{s}$

指数信号 (exponential signal)

信号$f(t) = e^{-(\alpha+j\beta)t}$

$\int_{0}^{\infty}e^{-(\alpha+j\beta)t}\times e^{-st}dt=\frac{e^{-(s+\alpha+j\beta)t}}{-(s+\alpha+j\beta)}\bigg|^{\infty}_{0}= \frac{1}{(s+\alpha+j\beta)}$

如果$\beta= 0 $，即这是一个实数指数：

$F(s)=\frac{1}{(s+\alpha)}, (\sigma > \alpha)$

其中$(\sigma > \alpha )$ 是其收敛域

单位冲击信号（unit sample signal）

信号$f(t) = \delta (t)$

$\int_{0^-}^{\infty}\delta(t)\times e^{-st}dt= 1$

如果有时移时：

$\int_{0^-}^{\infty}\delta(t-t_0)\times e^{-st}dt= e^{-st_0}$

斜坡信号 (ramp signal)

$f(t)= r(t)=t\times u(t)$，在$t>0$时可写成$f(t)=t$

(下面用了分部积分)

$\int_{0^-}^{\infty} t \times e^{-st}dt= -\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}t\ d{e^{-st}}= -\frac{1}{s}\bigg[ t\cdot e^{-st}\bigg|^{\infty}_{0}- \int_{0}^{\infty}e^{-st}dt \bigg]=\frac{1}{s^2}$

拉普拉斯变换的性质

下面这些都是五星级的，证明请参考Dr. Ruiheng Wu 的 PPT 或是百度，方法千奇百怪的，这里不再赘述。

线性

若：

$L[f_1(t)]=F_1(s), L[f_2(t)]=F_2(s)$

有：

$L[k_1f_1(t)+k_2f_2(t)]=k_1F_1(s)+k_2F_2(s)$

时移

若：

$L[f(t)]=F(s)$

有：

$L[f(t-t_0)]=F(s)e^{-st_0}$

频移

若：

$L[f(t)]=F(s)$

有：

$L[f(t)e^{-\alpha t}]=F(s+\alpha)$

缩放

若：

$L[f(t)]=F(s)$

有：

$L[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a}), a>0$

如果同时时移和缩放：

$L[f(at-b)u(at-b)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})e^{-s\frac{b}{a}}$

时域微分（一重和二重必记）

一重

$L\bigg[\frac{df(t)}{dt}\bigg]=sF(s)-f(0_-)$

二重

$L\bigg[\frac{df^2(t)}{dt}\bigg]=s^2F(s)-sf(0_-)-sf^{'}(0_-)$

通式

$L\bigg[\frac{df^n(t)}{dt}\bigg]=s^nF(s)-\sum ^{n-1}_{r=0}s^{n-r-1}f^{r}(0_-)$

初值定理（时域趋近于0时的s域）

$\lim_{t\rightarrow0^+}f(t)=f(0_+)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s)$

终值定理（时域趋近于无穷时的s域）

$\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)$

卷积定理

$L[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(s)\cdot F_2(s)$

s域微分

$L[t^nf(t)]=(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$

s域积分

$L\bigg[\frac{f(t)}{t}\bigg]=\int_{s}^{\infty}F(s)ds$

拉普拉斯反变换

变换的两种方法

要从F(s)变回f(t)，通常来说有两种方法：

部分分式展开法
留数定理计算：留数定理指出，如果一个函数在某个点处有一个孤立奇点（例如拉普拉斯变换里面的极点），那么该函数在该点的留数就是拉普拉斯反变换的系数。因此，通过计算其所有极点的留数，即可求得拉普拉斯反变换表达式。

正如前面提及，拉普拉斯变换常用变换对进行计算，将f(t)或F(s)往变换对上凑，以此来简便计算实现变换。而部分分式展开法就是为此而设计的，该课程仅介绍该方法。

下面是常用的拉普拉斯变换对：

部分分式展开法

对于任意一个式子，都可以写成分数的形式，无论是真分数还是假分数，总之它是可以的。也就是说，我们可以把F(s)拆分成分母和分子两部分

$F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}=\frac{a_ms^m+a_{m-1}s^{m-1}+...+a_{1}s+a_0}{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_{1}s+b_0}$

F(s)为真分式

若F(s)为真分式，即，其分子的次数低于分母的次数，那么可作如下处理：

$B(s)$ 这一组多项式可以被因式分解（因式分解就是：多项式$3x^2-2x-1 = (3x+1)(x-1)$）

因此F(s)可以被写成：

$F(s)=\frac{A(s)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)}$