EE6101-Digital-Comm-Systems-Part1-D-ISI控制技术与调制解调
均衡器（Equalization）
由于信道传输函数$H(f)$会对不同频率的信号造成不同程度的衰减，因此需要均衡器来针对不同频率进行增益补偿，以消除码间干扰等。
但在实际操作中，信道的特征是不可知的，因此均衡器不能设定为恒定的。通常会使用可调节的均衡滤波器来处理信道失真。
在这门课中只对滤波器进行非常简短的介绍
横向滤波器（Transversal filter）
横向滤波器是什么
横向滤波器是一种较为广泛应用的均衡器。它是一种一种有限冲激响应（FIR）滤波器，其结构如下图所示。
这个滤波器包含$2N+1$个“抽头（tap）”，每个 tap 对应一个延迟的输入样本和一个权重。它的输出是输入信号与一组滤波器系数的离散卷积。输出值$y_k$等于：
即，输出是每个$延迟 \times 权重$的求和。权重由反馈算法决定。滤波器的系统延迟为$2NT$（$T$为符号周期）。
迫零横向滤波器
零强迫（zero forcing）:
零强迫的目的是完全消除码间干扰（ISI）。其原理是让滤波器在目标采样点输出为 1，在其他采样点输出为0。
迫零均衡器（zero forcing equalizer）:
迫零均衡器是一种均衡策略，通过设计滤波器系数 $c_n$，使得系统的整体响应为一个延迟的狄拉克函数（delta function），输出在目标采样点为 1，其余为 0。
迫零是怎么消除ISI的？
码间干扰时由于前面符号的拖尾在采样时刻叠加造成的。记均衡器系统为$h(t)$，如果通过特定的设计，让这个系统的单位冲击响应在$h(t=kT)$时，$h[t=(k-1)T]=0,\ h[t=(k-2)T]=0…h[t=(k-n)T]=0$，那么在信号与这个系统卷积时，之前输入这个系统的响应就不会影响下一次的采样。
如何设计迫零横向滤波器
通过特定的系数设计，横向滤波器可以作为迫零均衡器使用。举个例子来看看：
迫零均衡器设计例子：3抽头迫零均衡器
假设输入信号为$x(k)=[0.0,0.2,0.9,−0.3,0.1]$，(a)设计一个迫零滤波器，(b)并展示其输出$z(k)=[0,1,0]$的特性（k=-1,0,+1）。(c)接着展示$k=\pm2$时的均衡后脉冲值
(a)求抽头系数
记$x(k)=0.9$时为$k=0$，即：$x(-2)=0.0, x(-1)=0.2…x(2)=0.1$。则$k=0,1,2$三个时刻的输入可以表示为矩阵：
均衡器的输出$z$可以表示为输入矩阵$X$与系数矩阵$c$的乘积：
$z$需要满足$z(-1)=0,z(0)=1,z(1)=0$，即：$z= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $，那么，就是对如下方程进行求解：
代入数据：
(b)k=-1,0,1时的z
$k=-1:$
$k=0:$
$k=1$
(b)k=+2，-2时的z
这些值不为零，但绝对值很小，说明 3 抽头均衡器无法完全消除远距离码元的串扰（受抽头数量限制），但已显著抑制了干扰。
双二进制编解码（Duobinary Coding and Decoding）
引入
在通信系统中，带宽为 W Hz 的系统，无码间串扰（ISI）时的最大符号速率是 (R_s = 2W) 符号 / 秒（这是奈奎斯特带宽的基本结论）。实现这一速率的理想方式是使用矩形低通滤波器，但这类滤波器物理上无法实现（因为理想矩形滤波器的冲激响应是无限长的，且非因果）
为了克服理想滤波器的不可实现性，人们提出了双二进制（或部分响应） signaling 方案。它通过引入受控的码间串扰（ISI），以$R_s = 2W$符号 / 秒的速率传输数据。
传统二进制 signaling 仅传输 (+1、-1) 两种取值，而双二进制传输 (+2、0、-2) 三种采样值 —— 这使得它在相同性能下，所需的功率比传统二进制 signaling 更低
双二进制编解码的流程
编码流程
双二进制编码的编码规则是：
- 先将原始编码转换为双极性二进制编码（如$+1、-1$），记为$x_k$
- (y_k = x_k + x_{k-1})（即当前码元与前一个码元相加）
假设输入二进制序列 (\{x_k\}) 为 0 0 1 0 1 1 0，下图是双二进制编码的过程：
解码流程
解码遵循以下规则：
- 若 (y_k = 2)，判定 (\hat{x}_k = +1)（对应二进制
1）； - 若 (y_k = -2)，判定 (\hat{x}_k = -1)（对应二进制
0）； - 若 (y_k = 0)，判定为前一个码元的相反值。
在上面例子中，按照此规则解码，得到双极性序列 (\{\hat{x}_k\}) 为 -1 +1 -1 +1 +1 -1，对应二进制序列 0 1 0 1 1 0，与原始输入一致。
双二进制的系统函数与滤波器特性
传输函数建模
若码元周期是$T$，则双二进制中的数字滤波器引入了一个 T 秒的延迟，其传输函数为(FT变换的时移性质)：
理想矩形滤波器的传输函数为：
双二进制系统的整体传输函数是两者的乘积 (H_e(f) = H_1(f)H_2(f))，推导后为：
进一步化简幅：
因为$1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta$，同时，(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta)，上式可写为：
而根据欧拉公式，(\cos\theta - j\sin\theta = e^{-j\theta})，这里 (\theta = \pi f T)，因此：
那么系统的幅频响应就是：
可以看到，双二进制编码在时域上引入的这个延迟，在频域上使得滤波器从矩形变成了一个余弦窗，这样从物理不可实现变成了更容易实现。
整体传输函数对应的冲激响应 (h_e(t)) 为：
通过上图可以看到，这两个sinc函数分别只有在 (t = 0) 和 (t = T) 处，叠加后的冲激响应有非零值（$t=T$处有的原因是它在数字滤波器根据了上一个T时刻的符号来决策）。其他时刻都处在sinc函数的零值点。
这样，既保留了矩形窗FT变换之后，在$nT$的采样时刻不影响其他符号的特性，又把矩形窗优化成了余弦窗，更好实现。
Polybinary Signaling（多进制部分响应 signaling）是以上述介绍的双二进制部分响应编码的升级版，它支持多电平编码。双二进制（Duobinary）是 “3 电平、2 个码元记忆” 的部分响应技术，而 Polybinary 则将这种思路推广到更多电平和更长的码元记忆（即 “相关跨度” 更长）。 这部分不是课程内容，但可以了解
带通调制（Bandpass Modulation）
引入：调制基本概念
为什么要调制
调制是为了将基带信号转换为适合信道传输的频带信号。调制可以使得被传输的信号需求更小的天线尺寸，还可以带来频率分集、频率复用等等。
数字信号如何调制
数字调制是将输入的数字比特流调制在一个载波（Carrier）上。调制的过程是对载波幅度，相位，或频率三者之一进行修改。调在幅度上被称为Amplitude-Shift Keying, ASK；调在相位上被称为Phase-Shift Keying, PSK；调在频率上被称为Frequency-Shift Keying, FSK。
不同的解调系统
如果在解调过程中使用与载波同相位的本地参考信号注入收到的信号来实现下变频，则该数字通信系统称为相干系统（coherent system）。否则，称为非相干系统（non-coherent system）。非相干系统的结构更为简单，但是SNR将会更低。
同样的，如果接收端有一个周期信号来辅助解调，则称其为同步系统(synchronous system)。不需要这样时钟信号的则称为异步系统（asynchronous system）。
BPSK信号相干解调
BPSK调制方式
二进制相移键控（BPSK）通过载波相位跳变传递信息
- 传输 “二进制 1” 时，信号为 (s_1(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T}} \cos(2\pi f_c t))（相位为 0）；
- 传输 “二进制 0” 时，信号为 (s_2(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T}} \cos(2\pi f_c t + \pi))（相位为(\pi)）。
其中，(E_b) 是每比特能量（(E_b = \int_0^T s_1^2(t) dt = \int_0^T s_2^2(t) dt)），T 是比特持续时间，(f_c) 是载波频率（通常为信号速率的整数倍，即 (f_c = k/T)，k 为正整数）。
(s_1(t) = -s_2(t))，即两种信号是反相的，这是 BPSK 的核心特征。
BPSK解调相关器
相干检测的核心是利用参考信号（即 “相干载波”），通过 “乘积积分（相关器）” 提取信号能量，再通过判决区分比特。其中参考信号是两个二进制信号之间的差值：$d(t)=s_1(t)-s_2(t)$。
解调器可以用单相关器或双相关器，二者等价：
单相关器：将接收信号 (r(t)) 与 “参考信号 (d(t) = s_1(t) - s_2(t))” 相乘，再积分 (0 \leq t \leq T)，得到测试统计量 (z(T))。最后将 (z(T)) 与阈值 (\gamma) 比较，判决发送的是 “1” 还是 “0”。
双相关器：分别将接收信号 (r(t)) 与 ( s_1(t) )、( s_2(t) ) 相乘并积分，得到 (z_1(T)) 和 (z_2(T))，再计算两者的差值 (z(T) = z_1(T) - z_2(T))，最后通过阈值判决。
我们来看一下相关器之后的信号长什么样子：
如果现在接收到的是$s_1$，那么经过相关器之后的信号$a_1$就是：
$s_1(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T}} \cos(2\pi f_c t), \quad 0 \leq t \leq T$，由于$ s_2(t)=-s_1(t) $，$s_2(t) = -\sqrt{\frac{2E_b}{T}} \cos(2\pi f_c t)$。
代入$ s_2(t)=-s_1(t) $，把$a_1$进一步写成：
由于$E_b = \int_0^T s_1^2(t) dt = \int_0^T s_2^2(t) dt$，那么：
同理可以计算得到$a_2$，因此：
- $a_1 = \int_0^T s_1(t) \cdot [s_1(t) - s_2(t)] dt=2E_b$
- $a_2 = \int_0^T s_2(t) \cdot [s_1(t) - s_2(t)] dt=-2E_b$
BPSK判决阈值的选择
前面介绍过，最大似然（ML）接收机可以带来最小的误码率。假设0和1出现的概率是等概的，而接收的随机信号PDF也对称，那么ML接收机的阈值就是两个接收PDF的期望的中心值，即，$\frac{a_1+a_2}{2}$
因此，经过相关器的信号与阈值0进行比较。
相干解调BPSK的BER
假设信号在加性高斯白噪声（AWGN）信道中传输。接收端的噪声是零均值高斯噪声$n(t)$，双边功率谱密度为$N_0/2$。
参考信号 (d(t) = s_1(t) - s_2(t)) 的能量为：
噪声分量在相关器输出的方差为（即，噪声能量，因为是零均值噪声，方差等于$E(n^2)$）：
那么，对于统计检验量：
- 若发送 (s_1(t))（比特 “1”），则 (a_1 = 2E_b)，(z(T) = 2E_b + n_0(T))；
- 若发送 ( s_2(t) )（比特 “0”），则 (a_2 = -2E_b)，(z(T) = -2E_b + n_0(T))。
误码事件是：
- “发送‘1’（(z(T)) 均值为 (2E_b)）却判决为‘0’（即 (z(T) < 0)）”
- “发送‘0’（(z(T)) 均值为 (-2E_b)）却判决为‘1’（即 (z(T) > 0)）”
由于他们条件PDF是对称的：$BER=P(H_2|s_1)Pr(s_1)+P(H_1|s_2)Pr(s_2)$。由于先验概率$Pr(s_1)=Pr(s_2)=0.5$，$P(H_2|s_1)$与$P(H_1|s_2)$相等（条件PDF对称）。
因此$BER=P(H_1|s_2)$，即，可以单看发送0接收1的概率。
对于发送0的情况， (z(T) \sim \mathcal{N}(-2E_b, 2N_0 E_b))，它大于0的概率可以用Q函数描述：
BFSK信号相干解调
BFSK调制方式
BFSK 通过载波频率跳变传递信息，是数字调制中 “频域区分比特” 的经典方案。
- 传输 “二进制 1” 时，信号为 (s_1(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T}} \cos(2\pi f_1 t + \phi), \quad 0 \leq t \leq T)（频率$f_1$）；
- 传输 “二进制 0” 时，信号为 (s_2(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T}} \cos(2\pi f_2 t + \phi), \quad 0 \leq t \leq T)（频率(f_2)）。
其中，(E_b) 是每比特能量，T 是比特持续时间，(f_1) 和 (f_2) 是两个正交载波频率（满足 (|f_1 - f_2| > 1/(2T))，保证信号正交）。
注意：(f_1) 和 (f_2) 满足正交条件：(|f_1 - f_2| > 1/(2T))，这意味着 (s_1(t)) 和 ( s_2(t) ) 在区间 ([0, T]) 上的互相关为 0，即：
BFSK解调相关器
BFSK 的相干接收可复用 BPSK 的相关器结构，核心是通过 “相关运算” 区分两个正交频率的信号。
定义参考信号 (d(t) = s_1(t) - s_2(t))，将接收信号与 (d(t)) 相关（乘积后积分），得到测试统计量 (z(T))。
计算相关值：若发送 (s_1(t))，则（记住$\int_0^T s_1(t) s_2(t) dt = 0$）
类似地：
相干解调BFSK的BER
与前面一样，假设信号在加性高斯白噪声（AWGN）信道中传输。接收端的噪声是零均值高斯噪声$n(t)$，双边功率谱密度为$N_0/2$。假设0和1出现的先验概率相等，接收端条件PDF对称。
参考信号 (d(t) = s_1(t) - s_2(t)) 的能量为：
那么经过相关器，噪声方差为：
那么，发送0时的分布就是$z(T)\sim N(-E_b,N_0E_b)$
BER也与前面一致：
BASK信号相干解调
BASK调制方式
BASK 通过载波幅度有无传递信息（“1” 有载波，“0” 无载波），是振幅调制的二进制形式。
- 传输 “二进制 1” 时，信号为 (s_1(t) = \sqrt{\frac{2E_1}{T}} \cos(2\pi f_c t))（有振幅）；
- 传输 “二进制 0” 时，信号为 (s_2(t) = 0))（无振幅）。
其中，(E_1) 是 “1” 对应的信号能量，每比特平均能量 (E_b = E_1/2)（因 “0” 的能量为 0，等概时平均能量为 (E_1/2)）
BASK解调相关器
接收端通过 “与载波 (s_1(t)) 相关” 来检测信号：
若发送 (s_1(t))，则 ：
若发送 ( s_2(t) )，则：
相干解调BASK的BER
与前面对信道假设一致。那么，这次的判决阈值为$E_b=E_1/2$。
参考信号 (d(t) = s_1(t) - s_2(t)) 的能量为：
那么经过相关器，噪声方差为：
当传输0时，$z(T)\sim N(0, N_0E_b)$
BFSK 和 BASK 的误码率公式完全相同，均为 (Q\left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}} \right))。
工程实现上的差异：相位有误差，本振信号不追幅值A（以BPSK为例）
在之前的理想 BPSK 相干检测中，接收端的参考信号 (d(t) = s_1(t) - s_2(t)) 是完全同步的（载波频率、相位与发射端完全一致）。但实际系统中，接收端的参考信号往往存在相位误差—— 即本地恢复的载波相位与发射端载波相位不完全匹配。
场景建模
我们以如下场景分析：
- 传输 “1” 时，(s_1(t) = A\cos(2\pi f_c t + \theta))（(0 \leq t \leq T)）；
- 传输 “0” 时，(s_2(t) = -A\cos(2\pi f_c t + \theta))（(0 \leq t \leq T)）；
其中$\theta$是未知相位
在接收端中，会对载波相位给出一个估计值$\psi$。同时，接收参考信号由本地的振荡器给出，无论信号传输幅值是几，接收端的本振信号A都等于1（对本振信号的线性缩放是不影响BER的，因为经过相关器会对信号和噪声放大同等倍数）。因此接收端参考信号：
记相位误差 (\phi = \theta - \psi)。
相关器计算结果
那么，把收到的信号扔进相关器，会得到：
传输$s_1$时：
利用三角恒等式 (\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)])，展开后：
由于载波频率 (f_c) 很高，(4\pi f_c t) 对应的高频分量在积分区间 ([0, T]) 内的积分为 0（周期性振荡的平均值为 0），因此仅保留低频分量：
同理，传输 “0” 时 (s_2(t) = -A\cos(2\pi f_c t + \theta))，相关值为：
阈值与BER
使用ML判决，阈值为：$(\gamma = \frac{a_1 + a_2}{2} = \frac{A T \cos\phi - A T \cos\phi}{2} = 0$
接收端的噪声 (n(t)) 是加性高斯白噪声，在经过$v(t)=2cos(2\pi f_c t+\psi)$的系统后，噪声方差变为：
那么，还是看传输0接收1的情况，接收的统计检验量服从：$z(T)\sim N(-ATcos\phi,N_0T)$可以写成：
用尾数函数来BER：
由于$E_b = \int_0^T s_1^2(t) dt$，根据三角恒等式 (\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2})，将 (s_1^2(t)) 展开：
由于(\cos(4\pi f_c t + 2\theta)) 是高频正弦信号，其周期为 (\frac{1}{2f_c})。由于载波频率 (f_c) 远大于比特速率 (1/T)（即 (f_c \gg 1/T)），该高频信号在区间 ([0, T]) 内会发生多次周期性振荡，其积分平均值为0（正半周和负半周的面积相互抵消），因此：
因此BER可以进一步写为：
即，与完美的情况相比，性能会下降$20\lg cos\phi (dB)$。
差分相移键控（Differential Phase-Shift Keying DPSK）
相干 PSK（如 BPSK）需要接收端精确恢复 “与发射端同频同相” 的载波，但实际中相位同步难度大。DPSK 作为 “非相干 PSK 的替代方案”，通过利用前一码元的相位作为参考，避免了对 “绝对相位同步” 的依赖。
其核心假设是：接收信号的未知相位在两个比特间隔内变化极慢，可近似认为保持不变。
差分编码
DPSK 不直接传输 “绝对相位”，而是传输相邻码元的相位差，具体流程如下：
以 “初始参考位为 1” 为例，编码规则为：
- 若当前信息位与前一编码位相同，编码为 1；
- 若当前信息位与前一编码位不同，编码为 0。
比如信息序列是 1 0 0 1 0 0 1 1，初始参考位为1，编码后序列为 1 1 0 1 1 0 1 1 1。再将差分编码按照PSK的规则生成调后信号。
调制解调器结构
一个DPSK的调制器框如下图所示
- 首先进行差分编码：信息序列先经过逻辑电路判断是否和前一位一样，如果一样就输出1，否则输出0。
- 差分编码的结果被转换为双极性码，再与一个本振信号相乘，即可得到一组相位相反的调制信号。
一个DPSK的解调器框图如下图所示
- 接收信号 (r(t)) 与 “延迟 T 秒的自身信号” 相乘，再积分 (0 \leq t \leq T)；
- 积分结果与阈值 0 比较：若结果为正，判决为 1；若为负，判决为 0。
- 其核心逻辑是：相邻码元相位相同则相关值为正，相位相反则相关值为负，从而通过 “相位差” 恢复信息。
误码率分析
DPSK 的误码率公式为：(P_b = \frac{1}{2} e^{-E_b/N_0})
与 BPSK 相比，DPSK 的误码率略差（要达到相同误码率，DPSK 需要的 (E_b/N_0) 仅比 BPSK 高不到 1 dB）。但其无需精确相位同步，实现简单，因此在 “相位同步难度大” 的场景（如短波通信、部分无线系统）中极具吸引力。
但是DPSK存在不足：错误会 “成组传播”—— 一个码元错误可能导致后续多个码元判决错误，这是由差分编码的相关性导致的。
下表式各二进制调制下，BER的差异：
| Modulation | ( P_B ) |
|---|---|
| Coherent PSK | ( Q\left( \sqrt{\frac{2E_b}{N_0}} \right) ) |
| Coherent FSK | ( Q\left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}} \right) ) |
| Coherent ASK | ( Q\left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}} \right) ) |
| DPSK | ( \frac{1}{2}\exp\left( -\frac{E_b}{N_0} \right) ) |
| Noncoherent FSK | ( \frac{1}{2}\exp\left( -\frac{E_b}{2N_0} \right) ) |
M进制信号
所谓M-ary 调制，核心是把(k = \log_2 M)个二进制比特 “打包” 成一个符号（symbol）。此时，每个符号间隔（持续(T_s = kT)秒）里，会发送(M = 2^k)种可能的信号之一（比如(s_0(t), s_1(t), \dots, s_{M-1}(t))）。
实现 M 进制调制的方式有三种：
- M-ary ASK：通过载波幅度的M个离散等级来编码；
- M-ary PSK：通过载波相位的M个离散角度来编码；
- M-ary FSK：通过载波频率的M个离散值来编码。
MPSK
MPSK调制
MPSK 的信号可以表示为：
- (E_s)：每个符号的能量；
- (T_s)：符号持续时间（因为(T_s = kT)，所以它是k个比特间隔的总和）；
- (f_c)：载波频率；
- (\frac{2\pi i}{M})：第i个符号对应的相位偏移（总共有M个不同的相位，间隔(\frac{2\pi}{M})弧度）。
MPSK解调
MPSK 接收机的核心是鉴相器（phase discriminator）：它会测量 “输入波形（期望信号 + 噪声）的相位”，并在一个符号持续时间(T_s)内做平均。
判决的关键是相位误差容忍度：只有当噪声导致的相位误差在(\pm \frac{\pi}{M})范围内时，接收机才能正确判决；超过这个范围，就会出错。
M如何选择
实际应用中，MPSK 的 “M 选多大” 不是随意的，要在带宽需求和功率消耗之间做权衡。我们看表格里的例子：
| M | 带宽增益（BW gain） | (10^{-4})误码率下的功率损失（Power Loss） |
|---|---|---|
| 4 | 0.500 | 0.34 dB |
| 8 | 0.333 | 3.91 dB |
| 16 | 0.250 | 8.52 dB |
| 32 | 0.200 | 13.52 dB |
- 带宽增益：数值越小，带宽节省越明显（比如(M=4)时带宽是 BPSK 的一半，(M=8)时是三分之一）。
- 功率损失：为了维持相同的误码率，M越大，需要的信号功率就越高（功率损失以 dB 为单位，数值越大，功率需求越苛刻）。
这就解释了工程中的选择：
- QPSK（(M=4)）：在带宽节省和功率需求之间做了最好的平衡，因此被广泛应用（比如卫星通信、移动通信的早期阶段）。
- (M>8)的 MPSK：功率需求过于夸张，实际中很少使用 —— 毕竟 “为了省带宽而大幅增加发射功率” 在成本和能耗上是不划算的。
QPSK信号
QPSK调制（IQ调制）
按照我们前面的理论，QPSK的相位间隔为$\frac{\pi}{2}$，有4个相位：
- $s_0(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos\left( 2\pi f_c t \right)$
- $s_1(t) = -\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \sin\left( 2\pi f_c t \right)$
- $s_2(t) = -\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos\left( 2\pi f_c t \right)$
- $s_3(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \sin\left( 2\pi f_c t \right)$
这四个波形对应四个相位偏移：(0^\circ)、(90^\circ)、(180^\circ)、(270^\circ)（或等价的(-90^\circ)）。用 “相位星座图” 可以直观表示：四个信号分别位于直角坐标系的四个方向，类似 “十字星” 分布，且每个相位与参考相位（(\cos(2\pi f_c t))）的夹角为(45^\circ)的整数倍。
不难发现，这4个信号是一组$\pm\cos(2\pi f_c t)$和一组$\pm\sin(2\pi f_c t)$，每个信号代表2个bit。
不妨将这两个bit视为两路，同相分量（I路）与正交分量（Q路）。利用三角函数展开公式 $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$，我们可以将任意相位的信号分解。
假设我现在要传输00，我想要调后信号是$s_0(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos\left( 2\pi f_c t \right)$，这个信号可以被拆解为：
现在我们来把它推广到一般形式：
即：
调试器如下图
这里的 $I(t)$ 和 $Q(t)$ 就是由输入的两个Bit分别控制的幅度系数。
| 信号 | 相位 θ | I(t) (系数) | Q(t) (系数) |
|---|---|---|---|
| $s_0$ | $0^\circ$ | $+A$ | $0$ |
| $s_1$ | $90^\circ$ | $0$ | $+A$ |
| $s_2$ | $180^\circ$ | $-A$ | $0$ |
| $s_3$ | $270^\circ$ | $0$ | $-A$ |
| (其中 $A = \sqrt{2E_s/T_s}$) |
在老师的例子中，任一时刻只有一路（I或Q）有值，另一路为0。这虽然也是QPSK（有时称为正交或分立的BPSK），但在实际工程应用中，为了保证功率放大器的效率，我们通常希望I路和Q路同时工作且幅度恒定。
因此，在标准的现代通信教材中，我们通常会将星座图旋转 $45^\circ$。即相位取：$45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ$。
QPSK解调
QPSK 接收机需要两个本地参考波形（由相干载波生成），分别是：
- $\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos\left(2\pi f_c t + \frac{\pi}{4}\right)$
- $\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos\left(2\pi f_c t - \frac{\pi}{4}\right)$
这个参考信号就是下图的两条虚线：
解调接收机的框图如下图所示：
1. 发送$s_0$时
假设发送信号是(s_0(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos(2\pi f_c t)))，接收机两个相关器的输出分别为$s_{01}$和$s_{02}$：
使用(\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)])：
由于第一项载波频率很高，周期内积分能量为0。因此最终结果是：
同理可以算得
此时，相干的结果，I路是正数，Q路也是正数。
2. 发送$s_1$时
假设发送信号是(s_1(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} -\sin\left( 2\pi f_c t \right)))，接收机两个相关器的输出分别为$s_{01}$和$s_{02}$：
注：使用积化和差$sinA\cdot cosB=[sin(A+B)+sin(A−B)]$
此时，相干的结果，I路是负数，Q路是正数。
如果我们对$s_0-s_3$全部情况都计算完，那么会发现，结果如下表：
| 发送信号 | (s_{01}(T_s)) | (s_{02}(T_s)) | 对应比特（I, Q） |
|---|---|---|---|
| (s_0(t)) | (\frac{1}{\sqrt{2}}E_s) | (\frac{1}{\sqrt{2}}E_s) | (1, 1) |
| (s_1(t)) | (-\frac{1}{\sqrt{2}}E_s) | (\frac{1}{\sqrt{2}}E_s) | (0, 1) |
| (s_2(t)) | (-\frac{1}{\sqrt{2}}E_s) | (-\frac{1}{\sqrt{2}}E_s) | (0, 0) |
| (s_3(t)) | (\frac{1}{\sqrt{2}}E_s) | (-\frac{1}{\sqrt{2}}E_s) | (1, 0) |
这样就可以完成解调了.
解调的星座图视角：
解调器的本质求这个点与参考轴的距离。
对于$s_0$这个信号，它的IQ两路与参考信号相乘之后积分，本质就是将它的模长投影到与参考信号垂直的地方上去。
而由于噪声，这个$s_0$在参考信号的坐标系下会移动，在AWGN下其相对于IQ两个轴参考的距离呈现高斯分布。一旦其越过I和Q的轴，就会发生误码。
QPSK性能分析
假设发送信号是(s_0(t))，接收机两个相关器的输出由信号分量和噪声分量组成：
- $V_{01}(T_s) = s_{01}(T_s) + n_{01}(T_s)$
- $V_{02}(T_s) = s_{02}(T_s) + n_{02}(T_s)$
噪声(n(t))是双边功率谱密度为(N_0/2)的 AWGN。噪声经过相关器的过程是：
利用期望的线性性质和(E[n(t) n(\tau)] = R_n(t - \tau) = \frac{N_0}{2} \delta(t - \tau))，当(t \neq \tau)时，(E[n(t) n(\tau)] = 0)；仅当(t = \tau)时，冲激函数有值。因此，二重积分可简化为单积分：
另一路的推导同理。最终得到：(n_{01}(T_s))和(n_{02}(T_s))是独立的高斯随机变量，均值为 0；IQ两路方差均为(\text{var}[n_{01}(T_s)] = \text{var}[n_{02}(T_s)] = \frac{N_0 E_s}{2})。
我们假设一下信道里面传输的是$s_0(t)$，来看看它错误的概率。对于$s_0(t)$，$V_{01}$和$V_{02}$都要大于0，否则就会出错。那么对这两个输出来说，小于0的概率是：
发生误码的概率是这两个任选其一小于0，等于1减去不误码的概率，因此：
在实际通信系统中，(P_{E1}) 是很小的数（比如误码率为 (10^{-4}) 级别），因此 (P_{E1}^2) 会更小（比如 (10^{-8})），可以忽略不计。因此误码率可近似得到：
MFSK
MFSK 的每个符号对应M 种不同频率的载波信号之一，信号形式为：(s_i(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos(2\pi f_i t + \varphi) \quad (i=0,1,…,M-1, \ 0 \leq t \leq T_s))
- (E_s)：每个符号的能量；
- (T_s)：符号持续时间；
- (f_i)：第i个符号对应的载波频率；
- (\varphi)：初始相位（相干解调时需与本地载波同步）
为了保证 M 个信号之间两两正交（即不同符号的信号在一个符号周期内的内积为 0，避免判决干扰），要求相邻频率的间隔为 (\frac{1}{2T_s})。
对于固定的比特误码率 (P_B(M))，MFSK 存在 “比特能量 - 带宽” 的权衡关系：
- 当 M 增大时：需要的比特能量 (E_b/N_0) 会减小（即 “更省能量”）；
- 代价是：传输带宽会显著增加（因为 M 越大，需要的频率数量越多，频率间隔累积后带宽更宽）。
当 M 趋近于无穷大时，MFSK 的平均比特误码率 (P_B(M)) 会出现 “阶跃式” 变化：(P_B = \begin{cases} 0.5, & \frac{E_b}{N_0} < -1.6\ \text{dB} \\ 0, & \frac{E_b}{N_0} > -1.6\ \text{dB} \end{cases})
这个(-1.6\ \text{dB})是香农极限（Shannon’s Limit）：它是 “在无带宽限制下，实现无差错传输所需的最小 (E_b/N_0)”（理论上的性能天花板）；
但此时带宽需求趋近于无穷大（因为$M\rightarrow \infty$意味着需要无穷多的频率，对应的信号带宽也会无限扩展）。