EE6101-Digital-Comm-Systems-Part2-CDMA

引入

移动通信中的复用

对于蜂窝网络，单个基站覆盖的区域叫 “小区（cell）”。

为了提高频率资源的利用率，会把多个小区组成 “复用簇”，不同簇可以重复用同一组频率 —— 这就是 “频率复用”。常见的复用模式有 12 小区、7 小区、4 小区、3 小区簇，下图是7小区复用的例子。

对于这样的频分复用，相邻小区不能用同一组频率，否则会产生严重干扰。

而码分复用可以“用不同的扩频码给信号‘贴标签’，接收端只认自己对应的‘标签’”，以此在同一频率上同时传输多个用户的信号。

下面将介绍直序扩频以及直序扩频的码分复用。

扩频通信简介

有三种基本的扩频方式：

• 跳频扩频(Frequency-hopping speread spectrum)
• 直接序列扩频(Direct-sequence spread spectrum)
• 啁啾扩频/线性调频扩频(Chirp Spread Spectrum)

参考笔记扩频通信简介 | 風，其中直序扩频在本课中有所涵盖，以课程笔记为准。

直序扩频（Direct Sequence Spread-Spectrum Communications ）

直序扩频简介

直接序列扩频使用扩频码(又称扩频序列、PN信号），直接对基带信号进行频域扩宽。如下图就是一个对双极性信号扩频调制的例子。绿色的是频率更高的扩频码，由扩频序列产生器产生。将基带信号与扩频码相异或，即可得到扩频信号。解调时，在本振信号相干后，再使用同样的扩频信号相干（这个过程称为解扩），即可恢复基带信号。

直序扩频的系统框图如下图所示：

一个完整的扩频、解扩过程如下图所示：

为何称其为扩频呢？因为扩频序列的频率比原始序列高许多。对于原始数据，它是一个窄带信号，如下图红色。而扩频序列是一个能量不集中，且频谱范围很大的信号，如下图绿色。二者在时域相乘等于在频域的卷积，但由于扩频码的能量在频带内太低了，所以卷积之后跟它本身没什么两样（下图中最下面一个）。

直序扩频的扩频增益/扩频因子

扩频增益（Processing Gain）也被称为扩频率（Spreading Ratio）或扩频因子（ Spreading Factor）。它被定义为：比特的周期/码片的周期。

$$PG=\frac{T_b}{T_c}=\frac{r_c}{r_b}$$

上式中，$T_b$是基带数据的周期，$T_c$是码片的周期；$r_c$是码片的速率，$r_b$是基带数据的速率。

直接序列扩频下的码分多址

不同用户采用不同的扩频序列，而这个扩频序列恰好就充当了码分多址里面地址码的作用。对某一个用户来说，他的接收机只能解扩对应扩频序列的信号，而其他用户的信号因为扩频序列不同，无法解扩。所以虽然看起来直扩通信每个用户看似占用频率很宽，但由于是共享不是独享，所以频谱利用率也很高的

在真实的应用场景中，每个用户都会被分配一个唯一的扩频序列$c(t)$，不同用户间的扩频序列正交。因此当扩频序列不对时，其他序列的信号无法解扩，在当前$T_b$周期内的积分是0，不会相互影响。

举个例子，现在有两个用户，他们都使用双极性信号，0使用+1，1使用-1：

• 第一个用户使用扩频码[0 0 1 1]传输bit 0（+1）。它传输的信号就是$s_1=(+1)\times(+1, +1, -1, -1)=(+1, +1, -1, -1)$
• 第二个用户使用扩频码[0 1 1 0]传输bit 1（+1）。它传输的信号就是$s_1=(-1)\times(+1, -1, -1, +1)=(-1, +1, +1, -1)$

他们传输的信号叠加在一起，就是$s=s_1+s_2=[0,+2,0,-2]$

• 对于第一个用户的接收机。使用扩频码解扩得到：$r\times(w_1)^T=[0,+2,0,-2]\times[+1, +1, -1, -1]^T=+4$，正数，解码为0。
• 对于第二个用户的接收机。使用扩频码解扩得到：$r\times(w_1)^T=[0,+2,0,-2]\times[+1, -1, -1, +1]^T=+4$，正数，解码为1。

一般来说，有两种扩频方式：

• 全周期扩展（Full-period spreading:）：处理增益（PG）= 扩展码的长度

  部分周期扩展（Partial-period spreading）：处理增益（PG）< 扩展码的长度

以BPSK系统为例看DSSS

系统建模与性能分析

一个BPSK系统，经过码字是$c(t)$的扩频码扩频，信道传输，再解码的系统框图如下。

首先，原始基带信号$b(t)$（双极性码）与扩频码$c(t)$相乘，变成扩频后的双极性码。再与$A\sin(2\pi f_ct +\theta)$的正弦信号相干，调制出DSSS-BPSK信号$s(t)$。

$$s(t)=Ab(t)c(t)\sin(2\pi f_ct +\theta)$$

经过噪声为$n(t)$的信道传输后，接收端为：

$$r(t)=Ab(t)c(t)\sin(2\pi f_ct +\theta)+n(t)$$

第一步：解扩

由于扩频码是双极性码（$\pm 1$），所以 $c^2(t) = 1$。 令解扩后的信号为 $w(t)$：

$$w(t) = r(t)c(t) = [A b(t) c(t) \sin(2\pi f_c t + \theta) + n(t)] c(t)$$ $$w(t) = A b(t) \sin(2\pi f_c t + \theta) + n(t)c(t)$$

此时，信号部分的扩频码已被消除，恢复为窄带BPSK信号；而噪声 $n(t)$ 被扩频码 $c(t)$ 扩展，但由于 $n(t)$ 是高斯白噪声，乘以 $\pm 1$ 后其统计特性不变，仍视为高斯白噪声。

第二步：解调（乘以相干载波） 信号 $w(t)$ 进入解调器，与恢复的载波 $\sin(2\pi f_c t + \theta)$ 相乘。

$$y(t) = [A b(t) \sin(2\pi f_c t + \theta) + n(t)c(t)] \sin(2\pi f_c t + \theta)$$ $$= A b(t) \sin^2(2\pi f_c t + \theta) + n(t)c(t)\sin(2\pi f_c t + \theta)$$ $$= \frac{A}{2} b(t) [1 - \cos(4\pi f_c t + 2\theta)] + n(t)c(t)\sin(2\pi f_c t + \theta)$$

信号 $y(t)$ 送入积分器，积分时间为一个比特周期 $T_b$。 判决变量 $z_i$ 为：

$$z_i = \int_{0}^{T_b} y(t) dt$$

解调后的信号分量

可以将积分分为信号分量 $S_{out}$ 和噪声分量 $N_{out}$ 两部分。

$$S_{out} = \int_{0}^{T_b} \frac{A}{2} b(t) [1 - \cos(4\pi f_c t + 2\theta)] dt$$

由于 $2f_c$ 是高频分量，在积分周期 $T_b$ 内（假设 $f_c \gg 1/T_b$），$\cos$ 项的积分为 0。 且在 $0 \to T_b$ 期间，信息码 $b(t)$ 为常数（假设为 $+1$ 或 $-1$）。

$$S_{out} \approx \int_{0}^{T_b} \frac{A}{2} b(t) dt = \frac{A T_b}{2} b(t)$$

原始信号功率为 $P = \frac{A^2}{2}$，则比特能量 $E_b = P \cdot T_b = \frac{A^2 T_b}{2}$。 由此可得 $A = \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}$。 代入 $S_{out}$：

$$S_{out} = \pm \frac{T_b}{2} \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} = \pm \sqrt{\frac{E_b T_b}{2}}$$

解调后的噪声分量

$$N_{out} = \int_{0}^{T_b} n(t)c(t)\sin(2\pi f_c t + \theta) dt$$ $$\sigma_n^2 = E[N_{out}^2]=\int_{0}^{T_b} E[n^2(t)]c^2(t)\sin^2(2\pi f_c t + \theta) dt$$ $$=\frac{N_0}{2}\int_{0}^{T_b}\frac{1 - \cos(4\pi f_c t + \theta)}{2}=\frac{N_0}{2}\int_{0}^{T_b}\frac{1}{2}+0=\frac{N_0T_b}{4}$$

因此最终的抽样统计量满足$z(T)\sim N(\pm\sqrt{\frac{E_b T_b}{2}},\frac{N_0T_b}{4})$。误码率为：

$$P_e=Q\left(\frac{\sqrt{\frac{E_b T_b}{2}}-0}{\sqrt{\frac{N_0T_b}{4}}} \right) = Q\left( \sqrt{\frac{2 E_b}{N_0}} \right)$$

直序扩频码

我们希望扩频序列：

• 自相关函数在零时延处有一个很大的峰值，而在非零时延处尽可能小（接近零），以减少多径效应和ISI。
• 很小的互相关特性（不同扩频序列间干扰小）。互相关性越大，多用户干扰（Multiple User Interference MAI）越大。因为码片不完全正交，非同一码片的信号在周期内积分不为0。
• 有尽可能多的码(序列个数，就是不重复的码长度)

通常来说，自相关性和互相关性不可兼得。一个码片如果自相关性很强，则互相关性多半也很强；如果自相关性很弱，则互相关性多半也很弱。

下面是常见的扩频序列

WH Codes

如何生成

WH 码是通过 哈达玛矩阵（Hadamard Matrix） 递归生成的。

哈达玛矩阵是一种 “0-1 矩阵”，通过递推公式生成。初始矩阵：(\boldsymbol{H}_0 = [0])（1 阶矩阵）。高阶矩阵为：

$$\boldsymbol{H}_n = \begin{bmatrix} \boldsymbol{H}_{n-1} & \boldsymbol{H}_{n-1} \\ \boldsymbol{H}_{n-1} & \overline{\boldsymbol{H}}_{n-1} \end{bmatrix}$$

（(\overline{\boldsymbol{H}}_{n-1})是(\boldsymbol{H}_{n-1})的 “反码”：0 变 1，1 变 0）

举个例子，初始矩阵是$\boldsymbol{H}_0 = [0]$，那么：

$$\boldsymbol{H}_1 = \begin{bmatrix} \boldsymbol{H}_{0} & \boldsymbol{H}_{0} \\ \boldsymbol{H}_{0} & \overline{\boldsymbol{H}}_{0} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$\boldsymbol{H}_2 = \begin{bmatrix} \boldsymbol{H}_{1} & \boldsymbol{H}_{1} \\ \boldsymbol{H}_{1} & \overline{\boldsymbol{H}}_{1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0| & 0 & 0 \\ \underline0 & \underline1| & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\boldsymbol{H}_3 = \begin{bmatrix} \boldsymbol{H}_{2} & \boldsymbol{H}_{2} \\ \boldsymbol{H}_{2} & \overline{\boldsymbol{H}}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0| & 0 & 0| & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \underline0 & \underline1| & 0 & 1| & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1| & 0 & 0 & 1 & 1\\ \underline0 & \underline1 & \underline1 & \underline0| & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$

生成哈达玛矩阵后，把矩阵里的0 映射成 + 1，1 映射成 - 1，每一行就对应一个 WH 码。这个映射规则是为了保证在计算其相关性时，模2乘法和XOR操作等价。

如果将0映射成-1，1映射成+1

(\boldsymbol{H}_3)是 8 阶矩阵（因为(n=3)时，矩阵大小是(2^3=8)），把它的每一行 “0→+1、1→-1”，就能得到 8 个长度为 8 的 WH 码。同理，如果需要m个WH码，则使矩阵大小是$2^n\geq m$即可。

WH码的特点

码长规则：WH 码的长度一定是(2^k)（(k≥1)的整数），比如 2、4、8、16 等。

码的数量：长度为(2^k)的 WH 码，总共有(2^k)个（因为哈达玛矩阵是方阵，行数 = 列数）。

直流分量：第 1 行（全 0 行）对应的 WH 码是 “全 + 1”，所以有恒定的直流分量。

互相关特性（同步场景）：同步时，不同 WH 码的互相关值为 0（这是 “正交性” 的核心体现）。比如两个不同的 WH 码，同步对齐时，逐位相乘求和的结果是 0，所以能完全区分用户。

举个例子，取$H_2$的3 4行。$[+1,+1,-1,-1]\times[+1,-1,-1,+1]^T=1-1+1-1=0$

异步场景互相关性的问题：如果码之间不同步（有时间偏移），互相关值就不是 0 了（会产生干扰）。

自相关特性：WH 码的自相关特性不好（自相关函数在时间轴上有多个峰值，非0时移下峰值依旧很大），这会影响多径干扰的抑制和同步性能。

HW码的局限性与PN码

WH 码虽然是 “完美正交” 的，但有两个明显缺点：

• 安全性差：生成规则是固定的，容易被预测；
• 同步 / 自相关差：自相关特性不好，难同步、难抑制多径干扰。

所以需要另一类码：伪噪声（PN）码（也叫伪随机码）。典型 PN 码就是M序列

Maximal-Length Sequence (m-sequence)

PN码的特性

PN 码不是完全正交的，但可以设计成 “近似正交”—— 不同 PN 码的互相关值很小（不是 0，但足够小）。

安全性好：看起来像随机噪声，但只有合法用户知道生成规则，能精确复制。

自相关特性好：自相关在 “0 时移” 时峰值很大，“非 0 时移” 时数值很小，这对同步、多径干扰抑制很友好。

PN 码中最常用的是 “二进制最长线性移位寄存器序列”，简称m 序列。它是通过移位寄存器生成的、周期最长的二进制序列，兼具 “伪随机性” 和 “良好的相关特性”，是 CDMA 系统中常用的扩频码之一。

m序列的生成方法

m序列又称最长线性反馈移位寄存器序列，它是由多级移位寄存器通过线性反馈(就是下图这些摩尔加的抽头)产生的最长的码序列

对于m级的移位寄存器发生器所能产生的最大长度的码序列为$2^m-1$位（不能是全0状态，因为一旦去了全0状态就无法游动到其他状态）。例如下图这个例子，这就是一个4级的m序列生成器。

首先我们从全1状态开始游动：

• 在全1状态时，$x_4\oplus x_1=0$，因此次态是0 1 1 1。
• 在0 1 1 1是，$x_4\oplus x_1=1$，因此次态是1 0 1 1
• 如此往复，一直游动到重复，得到下表：

序列编号	移位寄存器状态	反馈结果	序列编号	移位寄存器状态	反馈结果
1	1, 1, 1, 1	0	9	1, 0, 0, 1	0
2	0, 1, 1, 1	1	10	0, 1, 0, 0	0
3	1, 0, 1, 1	0	11	0, 0, 1, 0	0
4	0, 1, 0, 1	1	12	0, 0, 0, 1	1
5	1, 0, 1, 0	1	13	1, 0, 0, 0	1
6	1, 1, 0, 1	0	14	1, 1, 0, 0	1
7	0, 1, 1, 0	0	15	1, 1, 1, 0	1
8	0, 0, 1, 1	1	重复1	1, 1, 1, 1	0

可以看到，这个4度的计算器总共产生了15个不同的码片。

在实际设计中，这个shift register的结构可以用下表这样的二进制多项式来表示。

以使用$m=3$时，1011的例子来看：m=3代表现在有3个移位寄存器。1011代表这个寄存器的反馈回路与第一条，第三条，第四条边相连。如下图：

m-sequence的性质

周期特性：一个m 级移位寄存器的m 序列周期（一个完整序列重复的长度）是：(2^m - 1)

平衡特性（近似均匀）：一个周期内，“1” 的数量与“0”的数量近似相等。1有$2^{m-1}$个，0有$2^{m-1}-1$个。这代表它具有一定的随机噪声的特性（随机噪声1和0的数量相等）。

游程特性（Runs）：“游程” 是指连续相同的二进制位（比如 “111” 是长度 3 的 1 游程，“00” 是长度 2 的 0 游程）m 序列的游程满足：长度为 1 的游程占(\frac{1}{2})；长度为 2 的游程占(\frac{1}{4})，以此类推（最小为1）；最后有 1 个长度为 m 的游程（最长游程）；

移位特性（shift）：对 m 序列做循环移位（比如把序列开头的几位移到末尾），得到的新序列，等价于 “用另一组初始寄存器状态生成的同一个 m 序列”。

移位&相加特性（shift&add）：将一个 m 序列和它的任意移位版本做 “模 2 加”，结果仍是这个 m 序列的另一个移位版本。例如上面的例子，1, 1, 1, 1是第一个码（移位0次），1, 0, 0, 1是移位8次后的码，他们的模2加等于0,1,1,0，是移位6次后的码。

自相关与互相关

周期自相关函数(\phi(k))定义为：（衡量序列和它移位 k 后的序列的相似度）（注：$c_i$是已经被映射成$\pm1$的码字）

$$\phi(k) = \sum_{i=1}^{N} c_i c_{i+k} \quad (0 \leq k \leq N-1)$$

归一化自相关函数(R(k))：(R(k) = \frac{1}{N} \phi(k))

m 序列的自相关是 “冲激型” 的：

$$\phi(k) = \begin{cases} N & k=0 \\ -1 & 1 \leq k \leq N-1 \end{cases}$$ $$R(k) = \begin{cases} 1 & k=0 \\ -1/N & 1 \leq k \leq N-1 \end{cases}$$

连续形式的自相关函数$R(\tau)$有：

$$R(\tau) = \begin{cases} 1-\frac{\tau}{T_c}(1+\frac{1}{N}) & |\tau|\leq T_c \\ -1/N & T_c \leq \tau \leq N-1(T_c) \end{cases}$$

m 序列的自相关接近 “理想冲激”，和随机白噪声的自相关特性几乎一致 —— 这是人工生成序列中最好的周期自相关特性。这个特性让 m 序列特别适合同步（比如通信中的帧同步、码同步）。

m 序列的互相关特性很差（不同 m 序列之间的互相关值不是 0，还有很多高峰值），因此不能直接用作 CDMA 的扩频码（否则会产生严重的多址干扰）。

Gold Code/Sequence

如何生成

m 序列有个大问题：不同 m 序列之间的互相关值很大，没法直接用来做 CDMA 的扩频码（会产生严重干扰）。而 Gold 码（Gold 序列）就是为了解决这个问题 —— 它能生成大量序列，同时互相关值被限制在很小的范围内，适合 CDMA 多用户通信。

Gold序列将两个m序列作为优选对（一对特殊的 m 序列），把两个m序列的输出结果进行摩尔加。

优选对的定义：这对 m 序列的互相关值只有 3 种可能：(\phi_{xy}(k) = -1,\ -t(m),\ t(m)-2)。其中(t(m) = 1 + 2^{\lfloor (m+2)/2 \rfloor})（(\lfloor x \rfloor)是向下取整）。

举个例子：m=5 时，(t(5)=1+2^{\lfloor7/2\rfloor}=1+2^3=9)，所以这对 m 序列的互相关值只能是 - 1、-9、7。

注意：不是所有m序列都有优选对，比如 m=4、8、12、16 时，不存在 m 序列的优选对，所以这些长度没法构造 Gold 码。

对于优选对$x$和$y$，因为x和y的周期是(N=2^m-1)，所以 Gold 码的总数是：(N + 2 = 2^m -1 + 2 = 2^m + 1)。

特性

同一集合内的 Gold 码，互相关值和 “生成它们的优选对” 的互相关值一致，只有 3 种：(-1,\ -t(m),\ t(m)-2)。

而且随着 m 增大，最大互相关值(t(m)/N)会趋近于 0（(N=2^m-1)是周期）—— 这意味着 “用户越多、码越长，互相关干扰越小”，很适合 CDMA。

Gold 码的自相关特性不如 m 序列：m 序列的自相关是 “1（0 移位）、-1/N（非 0 移位）”，而 Gold 码的非 0 移位自相关值会有 3 种（和互相关一样）。

这是一个 “权衡”：Gold 码用 “稍差的自相关”，换来了 “大量序列 + 良好的互相关”，更适合多用户场景。

以长度 7（m=3，(N=2^3-1=7)）的 Gold 码为例：

优选对：

• m-seq1：[-1 +1 +1 -1 +1 -1 -1]
• m-seq2：[+1 -1 -1 -1 +1 -1 +1]

生成的 Gold 序列：[-1 -1 -1 +1 +1 +1 -1]

• 其与移位1次的序列([-1, -1, -1, -1, +1, +1, +1])自相关为：

  $$\phi(1)=(-1×-1)+(-1×-1) + (-1×-1) + (+1×-1) + (+1×+1) + (+1×+1) + (-1×+1)$$ $$= 1 + 1 + 1 -1 + 1 + 1 -1 = 3$$

• 其与移位2次的序列([+1,−1,−1,−1,−1,+1,+1])自相关为：

$$\phi(2)=(-1×+1) + (-1×-1) + (-1×-1) + (+1×-1) + (+1×-1) + (+1×+1) + (-1×+1)$$ $$= -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 = -1$$

• 其与移位3次的序列([+1,+1,−1,−1,−1,−1,+1])自相关为：

$$\phi(3)=(-1×+1) + (-1×+1) + (-1×-1) + (+1×-1) + (+1×-1) + (+1×-1) + (-1×+1)$$ $$= -1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 = -5$$

这个序列的$m=7$，$t(7) = 1 + 2^{\lfloor (7+2)/2 \rfloor}=17$

CDMA无线系统

在现实环境中增强DS-CDMA的性能