信号与系统分析

引入我们在研究系统极点的路径时，都是对闭环传递函数而言的。因为闭环传递函数的零极点可以直接反应系统的一些特性，例如稳定性，收敛速度，是否存在过冲等等。 考虑下图这样的一个系统，其系统闭环传递函数为$\frac{KG(s)}{1+KG(s)H(s)}$。我们研究的就是$1+KG(s)H(s)=0$时产生的极点。但是，我们的分析对象其实是$G(s)H(s)$这个开环传递函数，我们是通过分析OLTF，来研究CLTF的根。 而所谓根轨迹，就是随着增益K的变换，CLTF极点的移动路径。而这个轨迹可以通过CLTF，即$G(s)H(s)$的极点和零点绘制出来。 根轨迹的基本特性Dr.Huda PPT上的规则比较基础，但下一章会用到超出这个范围外的知识。这个视频讲了更普适的规则【自动控制原理】8_根轨迹_Part2_根轨迹手绘技巧_哔哩哔哩_bilibili。下面的笔记是结合二者写的 根轨迹的数种规则规则1：系统的根轨迹条数等于系统极点个数或零点个数（取最大的那个）例如$G(s)=\frac{(s+4)(s+1)}{(s+3)(s+0.5)}$，系统有2个零点2个极点，Max(2,2)=2，因此系 ...

PID控制器调谐PID三个部分对系统响应的贡献在Part1中详细介绍和分析过PID控制器，这里主要介绍一个调谐原则。回顾一下，PID的通式是： u(t)=K_pe(t)+K_i\int e(t)dt+K_d\frac{de(t)}{dt}写成并联形式是： C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds 写成标准形式是： K_p(1+\frac{1}{sT_i}+sTd) C(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds=\frac{K_ps+K_i+K_ds^2}{s}PID控制器会给系统引入一个位于原点的极点，和2个零点。由前面介绍的零极点分析系统响应的法则，可以导出其各个部分对系统瞬态响应的贡献： $K_p$的贡献是： 减少rise time $t_r$ 但是无法消除稳态误差 决定响应速度和力度，过小响应慢，过大会产生振荡，是I和D的基础。 $K_i$的贡献是： 消除稳态误差 但是会削减瞬态响应 会削减系统稳定性 在有系统误差和外力作用时消除偏差、提高精度，同时也会增加响应速度，产生过冲，过大会产生振荡。 $K_d ...

数字控制系统简介数字控制系统的核心是使用MCU、电脑之类的控制器通过软件的形式对数据进行处理。而不是模拟信号那样通过模拟器件来构成积分器微分器等等。 数字控制系统具有如下优点： 对噪声的鲁棒性好：数字信号可以无损传输，只要不超过门限值，数字信号读取出来都是无损的。 灵活性高：数字控制系统主要通过软件编程来实现对数据的处理，这样的系统灵活性高，重新刷写程序即可设计新的系统 成本：数字系统的可靠性在升高而成本在下降 易用性：大规模集成电路可以更轻易地集成数字IC，这对数字信号处理更加友好 数字控制系统的基础-ADC和DAC 一个基本的数字系统如上图所示，其模拟输出的数字信号必须经过DAC转化为模拟信号交给模拟系统去执行，而反馈回来的模拟信号又必须通过ADC转化为数字信号以作为参考计算值。 DAC有两种常用的DAC电路： R-2R 梯子（R-2R ladder）网络。 加权电阻器 R-2R ladder下图是一个3bits R-2R DAC的电路图。$b_1$是LSB，$b_2$是MSB。让我们分析一下这个电路。 （1）上图这样$b_2$接通的状态， 将电阻器件编为3组。如上图 ...

预补偿器（Pre-Compensator）的介绍预补偿器和上文PID控制器位于系统中同一位置，它旨在用于调整系统响应的各个方面，包括稳态误差、Overshoot、setting time等等。在不重新设计整个控制系统的情况下，使用预补偿器是一种相对简单的方法来修改系统。PID其实就是一种特殊的预补偿器。 它的优点有： 简单：无需重新设计整个系统 精确：可以通过对与补偿器的设计来消除系统稳态误差 灵活：它可以影响系统的方方面面而不直接修改系统 它的缺点有： 带宽限制：提高稳态误差性能会导致带宽变窄，从而影响系统快速响应变化的能力。 稳定性问题：如果设计不当，添加预补偿器可能会破坏系统的稳定性，特别是如果引预补偿器入了明显的相位滞后。 设计中的复杂性：对于某些系统，设计有效的预补偿器需要对系统响应进行复杂的分析和理解，这可能既复杂又耗时。 根轨迹下预补偿器的设计前置知识：如何判断根是否在根轨迹上频率响应下的预补偿器（Pre-Compensator）设计引入-PID控制器与与补偿器的关系PI控制器前面提到PI控制器有消除稳态误差的能力。PI控制器的通式为： G_c(s)=K_p(1 ...

本章节Dr.Zooba的PPT在原理阐释上比较模糊，以教会你套公式怎么做题为主，建议参考B站DR_CAN视频：【Advanced控制理论】2_状态空间_State Space_哔哩哔哩_bilibili。本篇笔记在原理阐释部分以DR_CAN的视频笔记为主。 状态空间表示法原理阐释对于任意一个系统，其输入和输出可用微分方程表示，例如下图这个由弹簧、阻尼器、小物块构成的系统。小物块质量为m，位移为x，受力情况是：($\dot x$表示$x$的一阶导数，$\ddot x$表示二阶，以此类推) 受拉力f(t) 受阻尼力$f_B=B \dot x$ 受弹簧拉力$f_k=kx$ 根据$F_{合力}=ma,a=v’=x’’$(位移的导数是速度，速度的导数是加速度)，因此可以列出方程： m\ddot x=f(t)-f_k-f_B=f(t)-kx-B\dot x在上式中，记位移$x$是系统的输出，拉力$f(t)$是系统的输入。按照以往信号与系统的处理方式，会将该微分方程输入与输出各放一边后拉普拉斯变换。 但在现在控制理论中，会将其转化为状态空间方程的形式。一个信号经过微分器微分前后就是两个不同 ...

时间延迟对系统频响的影响时延是输入与控制系统开始响应输出之间的时间差，其被称为lag或者dead time，记作T或表示成$e^{-sT}$(拉普拉斯变换的时移性质：$L[f(t-t_0)]=F(s)e^{-st_0}$) 时延对频响相响图的影响考虑一个系统函数为$G(s)$的一个系统，对其引入时间为T的时延，并求波德图 G(s)e^{-sT}=|G(j\omega)|e^{\angle G(j\omega)}e^{-j\omega T}=|G(j\omega)|e^{j[\angle G(j\omega)-\omega T]} 系统的幅频响应对应$|G(j\omega)|$，因此时延并不改变幅频响应。 但时间延迟从相频响应图中减去了$\omega T$，也就是说，随着频率增大，相位减少越大；换句话说，它削减了相位裕度。 如下图所示： 显然，如果时间延迟非常大，闭环系统将不稳定。 从时域的角度看 从时域的角度来看，延迟会造成（即，削减相位裕度会造成） 更低的阻尼比 更多的振荡响应 当系统内带有非最小相位元件(带有时滞特性/延时，相位滞后)元件时，会产生非最小相位系统。因此我们 ...

控制系统概述 如上图所示，根据有无feedback，控制系统被分为开环控制系统和闭环控制系统两类。在一个抽象出的系统中，使用Sensor取回需要的数据，Controller处理数据并转换为控制信号，Actuator收到控制信号后将其转化为物理上的输出 这一门课仅涉及闭环线性时不变控制系统 开环控制系统开环控制系统因为没有反馈的存在，因此系统的精度取决于校准的程度。 而且，开环控制系统无法消除收到的干扰或运行变化所造成的影响。 闭环控制系统闭环控制系统将它现在的实际输出与期望的输出进行对比，再进行控制。这个过程被称为反馈。 通常来说，使用负反馈来控制一个系统。（i.e., 将系统期望的输出-现在的输出，得到error值）。在这门课中，只学习负反馈的情况。 对系统进行建模（引入）使用拉普拉斯变换表达系统传输函数一个带有反馈的系统，其系统可以用一个差分方程来描述。通式是： \frac {d^ {n}y}{dt^ {n}} + a_ {n-1} \frac {d^ {n-1}y}{dt^ {n}1} + a_ {1} \frac {dy}{dt} + a_ {0} y(t)= b_ ...

波德图 （Bode plot）引入-什么是波德图波德图是一种用于体现系统开环传输函数(open loop transfer function)频率响应的图。波德图一般是由二张图组合而成，一张幅频图（幅度通常以dB为单位），一张相频图（相位通常以degree 为单位），两图都采用对数形式的横坐标（频率轴，单位rad/sec）。下图是一个波德图的例子 采样法画波德图幅频图 将$s=j\omega$代入求开环传输函数的幅频响应 $|H(s)|$（拉普拉斯变换$s=\sigma+j\omega,\ \sigma=\ 0$ 就等效于傅里叶变换了，详见信号与系统-拉普拉斯变换） 将其转换为对数形式（$20log\left(\left|H\left(j\omega\right)\right|\right)$） 变化频率$\omega$计算输出得到幅频图。（注：$|H(j\omega)|$就是开环传输函数在复平面的模长，也就是$\sqrt{\left(Real^2+Img^2\right)}$） 相频图依旧代入s=j\omega，求开环传输函数的相频响应$angle(H(j\omega))$。具体 ...